Floyd算法，Dijkstra算法，Bellman算法，A*算法

任意两点最短路径：Floyd-WarShall

Floyd算法解决的问题是：对于任意两个节点s和t，求s到达t的最短路径。

Floyd算法的思想是动态规划：

• 定义d(i, j, k)为点i到点j之间，只允许借道节点1...k的最短路径；
• 初始化：d(i,j,0) = e[i, j]，即i到j之间不经过任何其他中转节点的最短路径；
• 更新dij的公式就是d(i, j, k) = min(d(i, j, k-1), d(i, k-1, k-1) + e[k, j])；
• 更新n次；

Floyd算法的时间复杂度是$O(n^3)$

单源最短路径：Dijkstra

Dijkstra算法解决的问题是：没有负权边的情况下，从源节点s到其他任意节点t的路径长度。

• 维护一个dist数组，dist[i]表示s到i的最短距离；
• 对于每个元素，标记是否其dist已经确定不需要再更改（或者说维护两个集合，一个集合的dist确定，另一个未确定）；

Dijkstra算法是一种贪心策略：每次在未确定最短路径的节点里挑选距离s最近的那个点，把这个点标记为已经确定的dist，然后对从这个点出发的边进行松弛。

为了标记每个点，使用一个bool数组表示：determined[i]为true表示i的dist已经是最短路径，为false表示还不确定。

算法如下：

• 初始化dist[i] = e[s, i]，determined[i]为false；
• 在dist未确定的元素里determined[i] == false中寻找一个dist最小的节点u：
  • 标记u的dist已经确定determined[i] = true；
  • 用u的所有出边进行松弛：s到i如果经过(u, i)这条边会不会变近？dist[i] = min(dist[i], dist[u] + e[u, i])；
  • 重复循环直到所有的点都确定dist，重复N遍即可，每次只会确定一个新的节点的距离；

有负权边的单源最短路径：Bellman-Ford

Dijkstra算法的缺点在于不能处理边长为负数的情况，而这就是Bellman-Ford算法解决的。

Bellman算法是一种动态规划算法（动态规划就是Bellman提出来的）。

• 定义d(i, k)为源点s到i最多经过k条边的最短距离；
• 初始化d(i, 1) = e[s, i]；
• 每次更新d的公式：for all(u, v): d(v, k) = min(d(v, k-1), d(u, k-1) + e[u, v])；
• 更新n-1次；

启发式搜索算法：A*

A*算法通过下面的函数来计算每个节点的优先级
$$f(n)=g(n)+h(n)$$
其中

• $f(n)$是节点n的综合优先级，当我们选择下一个要遍历的节点时，总会选取综合优先级最高（值最小）的节点；
• $g(n)$是节点n距离起点的代价；
• $h(n)$是节点n距离终点的预计代价，就是A*算法的启发函数。

A*算法在运算过程中，每次从优先级队列中选取$f(n)$值最小（优先级最高）的节点作为下一个待遍历的节点；A*算法使用两个集合来表示待遍历的节点与已经遍历过的节点；

A*算法的启发式函数一般分为三种：

• 曼哈顿距离
• 对角距离；
• 欧几里得距离；

Dijkstra算法是A*算法的一个特例，其中所有节点的$h=0$；