【JZOJ3626】【POI2012】polarization （贪心+树+背包+二进制优化）

Problem

　　给出一棵n（≤250000）个节点的树，要求将上面的所有边变为单向边，方向自定，求最小的和最大的其中一个点可以到达另一个点的点对。

Solution

　　对于最小值，奇数层的边向上，偶数层的边向下，不就可以了吗？对啊！！！我刚做时竟然没想到！！！！！证明的话，感性理解一下。
　　对于最大值，就麻烦了。
　　首先，我们必须承认一个可能被我们贴上“错误”标签的结论：答案一定是以一个点作为源点，其它点要么通向这个点，要么可以从这个点到达。（反正我在看题解前根本没想过这个结论）（这个结论我们也得感性理解一下）考虑如果这样的点存在两个。。其间一定存在一条路径。。设第一个点进入的是a,出去的是b，第二个进入的是c，出去的是d，设sum=a+b+c+d，即证：a*b+b*c+c*d<=max((sum-a)*a,(sum-b)*b,(sum-c)*c,(sum-d)*d)，然后这是显然的。
　　那么我们肯定要选重心。因为如果不选重心的话，往重心的方向前进一步，答案肯定只会加不会减的。
　　如何求树的重心呢？其实也很简单，我们只需设size[x]表示以x为根的子树的点数，做一遍树形DP，然后对于一个点x，它自己的子树中点数最大的是$max(size[y])(y\in son(x))$，而当它变成根时，它原来的父亲节点就会变成它的一个子节点，大小为n-size[x]。所以只要这两个数均≤n/2，x就是重心。
　　然后我们以重心为根，做一遍树形DP，求出它的每个子树自身的答案（因为它的每个子树的边都是要么全部向上要么全部向下，答案一致）以及新的size。
　　此时，我们需确定究竟将那些子树的边定为全部向上，其他子树的边则定为全部向下。
　　设边全部向上的子树的size和为X，向下的size和为Y，则越过根的、可以通达的点对即为X*Y。要保证X*Y最大，我们必须选择的X越接近(n-1)/2越好。
　　那么上背包。但是如果碰到菊花图，显然会炸。
　　于是考虑优化这个背包。我们可以把size相同的子树并在一起，做多重背包。那么我们就可以使用二进制优化。比如说，根有12棵子树，size为：3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、4、4，那么我们把它合成10个3,2个4，也即1+2+4+3个3，1+1个4，然后变成：3、6、12、9、4、4。二进制优化能够正确就在于二进制数能表示一切数。
　　分析一下时间复杂度：首先，对于某种size相同的子树，假设它有n-1个，我们可以近似视作n个，那么最多会分为$log_2n+1$个（比如上面的10，被分为1+2+4+3），可以近似视作$log_2n$个；而不同size的子树，则至多会有$\sqrt n$种，因为你想想：1+2+3+4+……=n-1。
　　这么大的n，也敢带根号，还敢带个log？因为这只是理论上的最坏情况，实际上可能远远达不到。如果碰到菊花图，虽然最多会分成$log_2n$个，但是不同size的子树种类只有1，所以还是很快的。
　　时间复杂度：$O(n\sqrt nlog_2n)$。

Code

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 250001
#define ll long long
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
int j,u,v,bary,cnt[N],m,thing[N],x;
ll i,n,size[N],g[N],nn;
bool f[N];
vector<int>edge[N];
void dfs(int x,int fat)
{
    int y;
    size[x]=1;
    for(vector<int>::iterator it=edge[x].begin();it!=edge[x].end();it++)
    {
        y=*it;
        if(y!=fat)
        {
            dfs(y,x);
            size[x]+=size[y];
            if(size[y]>n/2||bary)return;
        }
    }
    if(n-size[x]<=n/2)bary=x;
}
void df(int x,int fat)
{
    int y;
    size[x]=1;
    for(vector<int>::iterator it=edge[x].begin();it!=edge[x].end();it++)
    {
        y=*it;
        if(y!=fat)
        {
            df(y,x);
            size[x]+=size[y];
            g[x]+=g[y]+size[y];
            if(x==bary)cnt[size[y]]++;
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("polarization.in","r",stdin);
    freopen("polarization.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n-1)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        edge[u].push_back(v);
        edge[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    df(bary,0);
    fo(i,1,n)
        if(cnt[i])
        {
            x=1;
            while(cnt[i]>=x)
            {
                thing[++m]=x*i;
                cnt[i]-=x;
                x*=2;
            }
            if(cnt[i])thing[++m]=cnt[i]*i;
        }
    f[0]=1;
    nn=(n-1)/2;
    fo(i,1,m)
        fd(j,nn-thing[i],0)
            if(f[j])
                f[j+thing[i]]=1;
    fd(i,nn,0)
        if(f[i])
            break;
    printf("%lld %lld",n-1,g[bary]+i*(n-1-i));
}