Swift必学递归技巧！揭秘 LeetCode 247：如何高效生成对称数？

摘要

今天我们来聊聊 LeetCode 247 这道题，叫 Strobogrammatic Number II（对称数 II）。简单说，它就是让我们找出所有长度为 n 的对称数——也就是 旋转 180° 后仍然保持原样的数字。

这道题的思路很有意思，直接暴力枚举是不行的，我们要用 递归+回溯 来一步步构造答案。本文会 分析题目难点、提供 Swift 代码、解析解法，还会结合实际应用场景，让你彻底搞懂这个问题。

描述

什么是对称数？

对称数就是 旋转 180° 后仍然是原来的数。换句话说，数码在翻转后还能保持原样，比如：

原数字	旋转 180° 后
0	0
1	1
6	9
8	8
9	6

比如 69，翻转后还是 69，但 12 翻转后变成 21，就不是对称数。

题目示例

输入: n = 2
输出: ["11", "69", "88", "96"]

痛点分析

这道题看似简单，但其实有几个难点：

1. 不能暴力枚举

   • 比如 n = 2 的情况下，我们可以直接枚举 10-99 的所有两位数，然后挨个判断是不是对称数。但如果 n = 14，那就是 10¹³ 到 10¹⁴ 之间的所有数，范围太大，完全不现实。

2. 不是所有数字都能用

   • 数字 2, 3, 4, 5, 7 旋转 180° 后没法变成有效的数字，所以这些数字根本不能用，限制了我们的选择。

3. 递归构造，而不是遍历

   • 我们不能直接从 00 开始找，而是要 从小到大递归地生成，比如：
     1. 先找到 n=0 和 n=1 的基本情况（空字符串 ""、"0"、"1"、"8"）。
     2. 然后递归地往两边加对称数，比如 "1" + num + "1"，形成 n=3 的情况。

4. 防止前导零

   • n > 1 的情况下，“0” 不能出现在最前面，否则会变成无效数字，比如 “069” 其实是 “69” 而已，不算一个有效的三位数。
     

Swift 题解

我们使用 递归 + 回溯 解决这个问题，思路是：

• 先递归生成更短的对称数
• 再在它们的两边拼接对称数字对（"0" + num + "0"、"1" + num + "1" 等）

class Solution {
    func findStrobogrammatic(_ n: Int) -> [String] {
        return helper(n, n)
    }
    
    private func helper(_ m: Int, _ n: Int) -> [String] {
        if m == 0 { return [""] }
        if m == 1 { return ["0", "1", "8"] }
        
        let subList = helper(m - 2, n)
        var result: [String] = []
        
        for num in subList {
            if m != n { result.append("0" + num + "0") }
            result.append("1" + num + "1")
            result.append("6" + num + "9")
            result.append("8" + num + "8")
            result.append("9" + num + "6")
        }
        
        return result
    }
}

题解代码分析

1. 递归终止条件

   • m == 0 时，返回 [""]（空字符串，用于拼接）。
   • m == 1 时，返回 ["0", "1", "8"]，因为单个字符的对称数只有这三个。

2. 递归构造

   • 先递归生成 更短的对称数，比如 n = 4 时，我们先找到 n = 2 的情况 ["11", "69", "88", "96"]。
   • 然后用 五种可能的对称组合 进行扩展：
     • "0" + num + "0"（但不能用于最外层）
     • "1" + num + "1"
     • "6" + num + "9"
     • "8" + num + "8"
     • "9" + num + "6"

示例测试及结果

let solution = Solution()
print(solution.findStrobogrammatic(2))

输出

["11", "69", "88", "96"]

如果 n = 3，会得到：

["101", "111", "181", "609", "619", "689", "808", "818", "888", "906", "916", "986"]

时间复杂度

• 最坏情况下，每一层递归会产生 5 倍的子问题，总共有 O(n/2) 层递归：
  • 时间复杂度：O(5^(n/2))
  • 空间复杂度：O(5^(n/2))（存储所有结果）

虽然时间复杂度是指数级的，但 n 最大才 14，计算量还能接受。

实际应用场景

1. 对称验证码

   • 有些网站会生成特殊验证码，在旋转屏幕时仍然能看清。比如某些验证码可能使用 818、609 这类对称数。

2. 车牌号 & 竞赛车号

   • 在一些比赛中，车号设计要 前后对称，方便观众从不同角度识别，比如 88、96 这种数。

3. 对称性设计

   • 在某些艺术设计、标志、Logo 里，我们可能会用到 旋转对称 的数字，比如某些品牌 Logo 可能采用 6 和 9 互换的效果。

总结

1. 这道题 不能暴力遍历，要用 递归+回溯 构造解法。
2. 关键点是 递归构造对称数，并且要 防止前导零。
3. 时间复杂度较高，但 n <= 14 仍然可接受。
4. 应用场景广泛，从验证码到车牌号、艺术设计，都可能用到类似的对称性概念。