拉普拉斯变换学习笔记

目录

1.为什么引入拉普拉斯变换？

2.双边拉普拉斯的定义

3.双边拉普拉斯变换的收敛域

4.单边拉普拉斯变换的定义

         5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系

6.常见信号的拉式变换

7.拉普拉斯变换的性质

7.1.线性、尺度变换性质

7.2.时移、复频移特性

7.3.时域、复频域的微积分 

7.4.卷积定理

7.5.初值、终值定理 

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 1.为什么引入拉普拉斯变换？

1.有些函数 f(t) 的傅立叶变换不存在

2. f(t) 在 -∞ 远处 不为0.

这些都是傅立叶（FT）所不能解决的问题，故将扩展到复数域，引出拉普拉斯变化。

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2.双边拉普拉斯的定义

为了方便公式的书写和记忆，因此把复数域的表达形式进行简化如下：

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3.双边拉普拉斯变换的收敛域

 

 

对于因果信号：

对于反因果信号

对于双边信号：

小结：

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4.单边拉普拉斯变换的定义

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5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系

从上面可得知，拉普拉斯变换来自于傅立叶变换，引出拉普拉斯变换正是因为有些函数的傅立叶变换不存在，那么拉普拉斯变换和傅立叶变换之间肯定是可以进行转换的，条件是什么呢？

单边拉式变换和傅立叶变换公式如下：

注意：要讨论其关系， f(t)必须为因果信号。

根据收敛坐标的值可分为以下三种情况：

只有第一种情况，f(t)傅立叶比变换存在：

注意：因为因果信号，收敛域都是大于某一值的，因果信号收敛域如下所示

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6.常见信号的拉式变换

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7.拉普拉斯变换的性质

7.1.线性（FT也具备）、尺度变换性质

• 线性

• 尺度

例子：

7.2.时移、复频移特性

• 时移

尺度变化+时移

例：

例2：

 

• 复频移特性

7.3.时域、复频域的微积分

• 时域微分特性

 

例子：

• 时域积分特性

 

例子1：

例子2：

• s域微分和积分

例子：

7.4.卷积定理

7.5.初值、终值定理

定义：

例子：

 

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