每日数学-中值定理

本文详细介绍了中值定理的四个重要部分:费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。通过定义极值点、最值点,阐述了这些定理的条件、证明过程及其在求解数学问题中的应用。此外,提及了更新频率因学校事务可能调整为每周三更。

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  这节准备写一下刚复习完的几个中值定理(费马,罗尔,拉格朗日,柯西)

  1.极值定义

   设f(x)在区间(x0-\delta ,x0+\delta)内有定义,对于任意x属于(x0-\delta ,x0+\delta)且x不等于x0都有

   f(x)<f(x0)(或大于)

   则称x0是f(x)的一个极大(极小)值点,f(x0)为极大(极小)值

   2.最值定义

   设f(x)在区间I上有定义,对于任意的x属于I,有

   f(x)<=f(x0)(或小于等于)

   则称x0是f(x)在x属于I上的最大(最小)点,f(x0)为最大(最小)值

 

   3.费马定理

   设函数f(x)在(a,b)内可微,\xi属于(a,b)是f(x)的极值点,则必有f^{1}(\xi )=0

   证明:

   公式太长了,实在不想打,理论是 根据极值定义和导数定义,求出在\xi处的左导数和右导数,利用夹逼定理证明其相等且等于0.

   4.罗尔中值定理

   若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点\xi \in (a,b)使得f^{1}(\xi )=0

    证明:

    因为闭区间连续,所以可以知道有最大最小二值,若二值相等,则为常值函数;

    若二值不相等,则区间内至少有一点为极值,再根据费马定理,得出结论

    5.拉格朗日中值定理    

   如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内

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