最优化理论与算法学习笔记（2）——凸函数

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本文详细探讨了凸集的定义与性质，包括超平面、半空间、凸锥和多面集等概念。接着，介绍了凸函数的定义，包括严格凸函数和凹函数，并阐述了凸函数在优化问题中的重要性，特别是凸规划在实际应用中的广泛使用。

虽然在教材中将凸集和凸函数列为预备知识的最后一节，但结合以往的研究来看，在应用中，凸函数还是至关重要的环节，所以我在这里单独列为一篇，也想借此机会再夯实一下基础。

1 凸集

定义1 设S为n维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中一个集合，若对S中任意两点，联结它们的线段仍属于S；换言之，对S中任意两点 $x^{(1)}, x^{(2)}$ 及每个实数 $\lambda \in [0,1]$ 都有

$\lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)} \in S,$

则称S为凸集，其中， $\lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)}$ 称为 $x^{(1)}, x^{(2)}$ 的凸组合。

经由书中例子说明，超平面、半空间为凸集。

定义2 设有集合 $C \subset \mathbb{R}^n$ ，若对C中每一点x，当lambda取任何非负数时，都有 $\lambda x \in C$ ，则称C为锥，又若C为凸集，则称C为凸锥。

定义3 有限个半空间的交{A|Ax<=b}称为多面集，其中A为mxn矩阵，b为m维向量。

定义4 设S为非空凸集， $x \in S$ ，若x不能表示成S中两个不同点的严格凸组合；换言之，若假设 $x = \lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)}, x^{(1)}, x^{(2)} \in S$ ，必推得 $x=x^{(1)}=x^{(2)}$ ，则称x是凸集S的极点。

定义5 设S为 $\mathbb{R}^n$ 中的闭凸集，d为非零向量，如果对S中的每一个x，都有射线

$\{x+\lambda d|\lambda \geqslant 0\} \subset S,$

则称向量d为S的方向。又设 $d^{(1)}, d^{(2)}$ 是两个不同的方向。若S的方向d不能表示成该集合的两个不同方向的正的线性组合，则称d为S的极方向。

2 凸函数

定义6 设S为 $\mathbb{R}^n$ 中的非空凸集，f是定义在S上的实函数，如果对任意的 $x^{(1)}, x^{(2)} \in S$ 及每个数 $\lambda \in(0,1)$ ，都有

$f(\lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)})\leqslant \lambda f( x^{(1)})+(1-\lambda)f(x^{(2)}),$

则称f为S上的凸函数。

如果对任意不相同的 $x^{(1)}, x^{(2)} \in S$ ，及每一个数 $\lambda \in(0,1)$ ，都有

$f(\lambda x^{(1)}+(1-\lambda)x^{(2)})<\lambda f( x^{(1)})+(1-\lambda)f(x^{(2)}),$

则称f为S上的严格凸函数。

如果-f为S上的凸函数，则称f为S上的凹函数。

3 凸规划

类似于求凸函数在凸集上的极小点的问题，称为凸规划。如果函数是非线性函数，满足值为0的点的集合不是凸集，则不属于凸规划问题。

而在我们的应用中广泛使用的方法中，大部分的优化都是凸规划问题，也就是凸优化。

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