【ML】线性回归 の 数据标准化

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1 What：数据标准化 vs 中心化

• 标准化： 数据的标准化(normalization)是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值。 常用的标准化有：Min-Max scaling, Z score

• 中心化：变量减去它的均值，对数据进行平移

2 Why：为什么要数据标准化

数据标准化的原理往往是来自于独立连续变量的量纲。

• 举个🌰 ：如果我们要对 人口y 进行回归，采取 “个数” 量纲和 “百万个” 量纲得到的回归系数会差的相当大。而进行处理时，采取“个数”的量纲的回归系数太小。这时候有必要对原始数据进行标准化，使得每个变量x 有相同的范围或者方差。

3 When：什么时候做/不做数据标准化

Do 数据标准化 的情况

• 在聚类过程中，标准化显得尤为重要。这是因为聚类操作依赖于对类间距离和类内聚类之间的衡量。如果一个变量的衡量标准高于其他变量，那么我们使用的任何衡量标准都将受到该变量的过度影响

• 在PCA降维操作之前 / 在主成分PCA分析之前，对变量进行标准化至关重要。 这是因为PCA给那些方差较高的变量比那些方差非常小的变量赋予更多的权重。而 标准化原始数据会产生相同的方差，因此高权重不会分配给具有较高方差的变量

• KNN操作，原因类似于kmeans聚类。由于KNN需要用欧式距离去度量。标准化会让变量之间起着相同的作用

• 在SVM中，使用所有跟距离计算相关的的kernel都需要对数据进行标准化

• 在选择岭回归和Lasso回归时候，标准化是必须的。原因是正则化是有偏估计，会对权重进行惩罚。在量纲不同的情况，正则化会带来更大的偏差。

Undo 数据标准化 的情况

• 当采用 普通的线性回归（OLS） 的时候，是无需标准化的。因为标准化前后，不会影响线性回归预测值
• 标准化不会影响 logistic回归，决策树及其他一些集成学习算法

线性回归无需标准化 の 数学证明

在线性回归中，是否进行标准化将不会影响最后预测效果，即使训练时候的权重将不一样。

线性回归无需标准化 の 实验证明

下面用R语言进行实验证明：

不采用标准化

在测试集上的预测：

采用标准化

对数据进行标准化后，然后再进行训练

在进行predict的时候，我们仍然需要对输入数据进行标准化，此时可以利用训练集上的均值和方差。

对比 标准化与无标准化 の 预测值

此处的标准化的prediction进行了重新scale。可以看到是否标准化，不会影响回归结果。

4 其他：线性回归的易错点

• 不考虑线性相关直接使用线性模型
  设想建立一个具有两变量X1和X2的线性模型，假设真实模型是 $Y=X_1+X_2$。
  理想地，如果观测数据含有少量噪声，线性回归解决方案将会恢复真实模型。
  然而，如果 $X_1$ 和 $X_2$ 线性相关（大多数优化算法所关心的），$Y=2X_1$, $Y=3X_1-X_2$ 或 $Y=100X_1-99X_2$ 都一样好，这一问题可能并无不妥，因为它是无偏估计。
  然而，它却会使问题变得病态，使系数权重变得无法解释。

• 将线性或逻辑回归模型的系数绝对值解释为特征重要性
  因为很多现有线性回归量为每个系数返回P值，对于线性模型，许多实践者认为，系数绝对值越大，其对应特征越重要。事实很少如此，因为：
  (1) 改变变量尺度就会改变系数绝对值；
  (2) 如果特征是线性相关的，则系数可以从一个特征转移到另一个特征；
  (3) 数据集特征越多，特征间越可能线性相关，用系数解释特征重要性就越不可靠。