下降幂与多项式乘法

下降幂生成函数：$f(x)={\sum }_{i=0}{a}_i{x}^{\underline{i}}$
指数生成函数：$f_2(x)={\sum }_{i=0}\frac{a_i}{i!}{x}^i$
对于$f(x)$的点值指数生成函数：$g(x)={\sum }_{i=0}\frac{f(i)}{i!}{x}^i$

考虑对于$x^{\underline{n}}$的点值指数生成函数，$g[x^{\underline{n}}](x)={\sum }_{i=n}{i}^{\underline{n}}\frac{x^i}{i!}={\sum }_{i=n}\frac{i!}{i!\ast (i-n)!}{x}^i={\sum }_{i=0}\frac{1}{i!}{x}^i\ast x^n=e^x{x}^n$

（直观上来讲，就是$x^{\underline{n}}$的点值和阶乘很有关系，乘乘除除就变成$e^x$了。）

那么对于下降幂生成函数$f(x)$的点值指数生成函数:
$g[f(x)](x)={\sum }_{i=0}g[\frac{a_i}{i!}{x}^{\underline{i}}](x)={\sum }_{i=0}\frac{a_i}{i!}{e}^x{x}^i=e^x{\sum }_{i=0}\frac{a_i}{i!}{x}^i=e^{x}f(x)$

所以对于下降幂生成函数$f(x)$，他的点值生成函数为$f(x)e^x$,
对于点值生成函数$g(x)$，他的原函数的下降幂生成函数为$g(x)e^{-x}$

相当于幂级数多项式用FFT来求在单位根下的点值，而下降幂多项式用乘上$e^x$求非负整数下的点值（除上阶乘）。
这个变换太美妙了。
注意下降幂不除阶乘但是点值除阶乘。

模板题

应用1:
【模板】第二类斯特林数·行
$$x^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}i\\ n\end{array}\right\}{x}^{\underline{i}}$$
那么就是一个点值生成函数转为下降幂生成函数，直接在指数生成函数的意义下$\times e^{-x}$即可。

操作：
下降幂多项式的平移：
下降幂二项式定理$(a+b{)}^{\underline{n}}={\sum }_{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{\underline{i}}{b}^{\underline{n-i}}$

证明：
${\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{n-i}\right)i!(n-i)!=n!{\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{n-i}\right)=n!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{n}\right)=(a+b{)}^{\underline{n}}$