博弈论总结

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洛谷日报
a. 穆尔（E.N.Moore）游戏
这个游戏与Nim游戏及其类似，唯一不同的是参赛者每一步可以从任意几堆（不超过特定的数k）中取出筹码，如果把数字x,y…换写成二进制数而不作进位的加法时，和的每一个数位上的数码都是k+1的倍数，则此组合(x,y…)为安全的。如果把 的规则修改为取走最后一个筹码是输，那么安全组合不边，除了当所有的堆只有一个筹码时，堆得数目比k+1的一倍多一。
如果把 再作进一步的修改，限制从每一堆上取走的筹码个数必须是一个“容许集合”中的一个数，那么一般的分析是困难的。但若仅有k+1个堆，其筹码个数分别是 ，且取走最后一个筹码者为胜，则一个安全组合符合规律 ，如果堆数少于k+1，则所有的 =0。

b. 凯尔斯游戏（Kayles）
这个游戏玩得是一行筹码，每一步取走一个或相邻的两个筹码。这样可能把一个行切断成两个较短的行，取走最后一个筹码为胜。规律G(x,y,…)为G(x),G(y),…的Nim和仍然成立。x=0,1,2,…时，G(x)的值一次为0，1，2，3，1，4，3，2，1，4，2，6，4，1，…盖伊（R.K.Guy）曾证明，从x=71往后这个序列是有周期的，周期为12。在“复式凯尔斯游戏”里，参加者可以每次取相邻的两个或者三个筹码，这时G(x)的序列变成了0,0,1,1,2,2,3,3,1,1,…也就是简单凯尔斯游戏里的G(x)序列中每一项都重复一次。如果去筹码的规则是每次取相邻的两个或者独立的一个，那么G(x)的序列将是0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,…从x=33以后它是周期的，周期为34。

博弈的很重要的思想就是寻找平衡状态。
有n堆石子，第i堆有Ai颗，两个人轮流取，每次必须从一堆中取走大于0颗石子，并且可以从这堆石子随便拿一些石子分到其它堆，数目不限（可以为0），但是已经没有石子的堆不能再被放入石子。

对于状态(n,A1,A2……An)，不妨设A1<=A2<=……<=An。
平衡状态：n为偶数，且A1=A2，A3=A4……An-1=An。
正确性证明：
1．失败状态属于平衡状态。
2．平衡状态一定转移到非平衡状态。
设取石子之前的状态P1为(n,A1,A2……An)。
设从第i堆中取石子，由于$A_{2k-1}=A_{2k}$，所以不妨设i为奇数。
(1) 如果把第i堆石子取完或者把第i堆分完，则堆数变为奇数。
(2) 假设P1变为了平衡状态，设Ai最终变为了C(C>0)，令j满足Aj-1<C<=Aj，显然j<i且j为奇数，这样需要调整是石子数为$(A_j-C)+(A_{j+2}-A_{j+1})+\dots \dots +(A_{i-1}-A_{i-2})+(A_{i+1}-A_{i-1})=A_i-C$，由于可以调整的石子最多$A_i-C-1$颗，矛盾。
3． 非平衡状态可以转移到平衡状态。
设取石子之前的状态P1为(n,A1,A2……An)。
从第n堆中取石子
(1)当n为奇数时，必须把第n堆石子分完，分给A1,A3……An-2，使得A1=A2,A3=A4……An-2=An-1需要调整是石子数为(A2-A1)+(A4-A3)+……+(An-1-An-2)<=A2-A1+A4-A2+……+An-1-An-3=An-1-A1<An，满足条件。
(2)当n为偶数时，不能把第n堆石子分完，令k为最小的数满足A2k-1≠A2k，由于A是非平衡状态，k一定存在，可以让An最终变为A2k-1，分给A2k+1……An-1，使得A2k=A2k+1,A2k+2=A2k+3……An-2=An-1需要调整是石子数为(A2k+1-A2k)+(A2k+3-A2k+2)+……+(An-1-An-2)<=A2k+1-A2k+A2k+3-A2k+1+……+An-1-An-3=An-1-A2k<An-A2k-1，满足条件。