快速傅里叶变换

一类用于以$O(n\log n)$的时间复杂度将多项式的系数表示法变为点值表示法或反之的方法。
系数表示法：$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$
点值表示法：多项式函数$f(x)$过$n$个不同的点$(x_i,y_i)$，可以证明次数最小的$f(x)$只有一个（次数为$n-1$），那么可以用这$n$个不同的点$(x_i,y_i)$表示这个唯一的$f(x)$，注意$f(x)$反过来并不是唯一对应，可以任意选这个函数上$n$个不同的点来表示$f(x)$。

那么这个算法就是找不同的$n$个$x_i$并把这$n$个点的$y_i$算出来。
用单位根${\omega }_n^i$作为$x_i$
如果$n$为$2$的倍数

对于$k<\frac{n}{2}$
$$\begin{array}{rl}{A}_n(w_n^k)=& \sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{w}_n^{2ki}+\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{w}_n^{2ki+k}\\ =& \sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i}{w}_{\frac{n}{2}}^{ki}+w_n^k\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}-1}{a}_{2i+1}{w}_{\frac{n}{2}}^{ki}\end{array}$$

对于$k>=\frac{n}{2}$
$$\begin{array}{rl}A({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})& =A_1({\omega }_n^{2k+n})+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{A}_2({\omega }_n^{2k+n})\\ & =A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k\times {\omega }_n^n)+{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}{A}_2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k\times {\omega }_n^n)\\ & =A_1({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)-{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_{\frac{n}{2}}^k)\end{array}$$

相当于将这个我们生成函数奇偶分拆然后利用${\omega }_{kn}^{ki}={\omega }_n^i$发现只需要知道在${\omega }_{\frac{n}{2}}^i$的两个$\frac{n}{2}$次多项式的点值表达式就可以$O(n)$ 合并答案。
$T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(n\log n)$
其实好像这个分治也没有怎么重复利用信息，怎么就快了呢？
其实是因为点值表达式的优秀性质导致合并十分快，说来也有趣，我们要求点值表达式，反而还要用点值表达式优化算法。。。。。。这类分治思想是利用所求答案本身的关系加快算法，没啥感觉。

然后发现奇偶分组好像合并时不一定我们需要的数字挨在一起，但是我们可以发现，一个数的二进制中从小到大第i位为0则在第i次奇偶分组中为偶数，反之为奇数，那么第i次分组中同一组的，较小i位都一样，那么就按由低位比到高位的顺序排序可以发现同一组的总挨在一起，那么就可以非递归计算了。

从点值表达式变回系数表达式可以看文后的博客。
需要$w_n^{in}=w_n^i$
这样，IDFT 就相当于把 DFT 过程中的 ${\omega }_n^i$ 换成 ${\omega }_n^{-i}$，然后做一次 DFT，之后结果除以$n$就可以了。

FFT合并
两个实函数$A(x),B(x)$的傅里叶变换可以用一次FFT完成。
这位dalao讲的十分清楚
具体就是$P(x)=A(x)+iB(x)与Q(x)=A(x)-iB(x)$
他们的$DFT$后的多项式：
$DFT[P(w^k)]={\sum }_j(a_j+i{b}_j)w^{jk}={\sum }_j(a_j+i{b}_j)(cos(x)+isin(x))$
$DFT[Q(w^k)]={\sum }_j(a_j-i{b}_j)w^{jk}={\sum }_j(a_j-i{b}_j)(cos(x)+isin(x))$
$x$是一定存在的，我们只是设一下。
又$$\begin{gathered} DFT[Q(w^k)]={\sum }_j(a_j-i{b}_j)(cos(-x)+isin(-x))= \\ {\sum }_j(a_{j}cos(-x)-b_{j}sin(-x))-i(a_{j}sin(-x)+b_{j}cos(-x))=conj(DFT(P(w^{-k})))=conj(DFT(P(w^{L-k}))) \end{gathered}$$
所以我们可以只$DFT[P(x)]$而得到$DFT[Q(x)]$，从而解出$DFT[A(x)]$与$DFT[B(x)]$
$DFT$具有结合律。。。

无优化版本

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
#define Pi 3.1415926535897932384626433832795
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define db double
using namespace std;

struct cp{
	db r,i;cp(db r=0,db i=0):r(r),i(i){}
	cp operator +(const cp &B)const{ return cp(r+B.r,i+B.i); }
	cp operator -(const cp &B)const{ return cp(r-B.r,i-B.i); }
	cp operator *(const cp &B)const{ return cp(r*B.r-i*B.i,r*B.i+i*B.r);  }   
};

int Wl,lg[maxn],r[maxn];
cp W[maxn];
void init(int n){
	for(Wl=1;n>=2*Wl;Wl<<=1);
	rep(i,0,Wl<<1) W[i]=cp(cos(i*Pi/Wl),sin(i*Pi/Wl)),(i>1)&&(lg[i]=lg[i>>1]+1);
}
void FFT(cp *A,int n,int tp){
	rep(i,1,n-1) (i<(r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg[n]-1))))&&(swap(A[i],A[r[i]]),0);cp t;
	for(int L=1,B=Wl;L<n;L<<=1,B>>=1) for(int s=0;s<n;s+=L<<1) for(int k=s,x=0;k<s+L;k++,x+=B) 
		t=(tp==1?W[x]:W[(Wl<<1)-x])*A[k+L],A[k+L]=A[k]-t,A[k]=A[k]+t;
	if(tp^1) rep(i,0,n-1) A[i].r/=n;
}
int n,m;cp A[maxn],B[maxn];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	double x;
	rep(i,0,n) scanf("%lf",&A[i].r);
	rep(i,0,m) scanf("%lf",&B[i].r);
	init(n+m);
	FFT(A,Wl<<1,1),FFT(B,Wl<<1,1);
	rep(i,0,(Wl<<1)-1) A[i]=A[i]*B[i];
	FFT(A,Wl<<1,-1);
	rep(i,0,n+m) printf("%d%c",(int)round(A[i].r)," \n"[i==n+m]);
}

合并FFT版本：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
#define Pi 3.1415926535897932384626433832795
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define db double
#define Ct const
using namespace std;

struct cp{
	db r,i;cp(db r=0,db i=0):r(r),i(i){}
	cp operator +(Ct cp &B)Ct{ return cp(r+B.r,i+B.i); }
	cp operator -(Ct cp &B)Ct{ return cp(r-B.r,i-B.i); }
	cp operator *(Ct cp &B)Ct{ return cp(r*B.r-i*B.i,r*B.i+i*B.r);  }   
	cp conj()Ct{ return cp(r,-i); }
};

int Wl,lg[maxn],r[maxn];
cp W[maxn];
void init(int n){
	for(Wl=1;n>=2*Wl;Wl<<=1);
	rep(i,0,Wl<<1) W[i]=cp(cos(i*Pi/Wl),sin(i*Pi/Wl)),(i>1)&&(lg[i]=lg[i>>1]+1);
}
void FFT(cp *A,int n,int tp){
	rep(i,1,n-1) (i<(r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg[n]-1))))&&(swap(A[i],A[r[i]]),0);cp t;
	for(int L=1,B=Wl;L<n;L<<=1,B>>=1) for(int s=0;s<n;s+=L<<1) for(int k=s,x=0;k<s+L;k++,x+=B) 
		t=(tp==1?W[x]:W[(Wl<<1)-x])*A[k+L],A[k+L]=A[k]-t,A[k]=A[k]+t;
	if(tp^1) rep(i,0,n-1) A[i].r/=n;
}
int n,m;cp A[maxn],B[maxn];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	double x;
	rep(i,0,n) scanf("%lf",&A[i].r);
	rep(i,0,m) scanf("%lf",&A[i].i);
	init(n+m);
	FFT(A,Wl<<1,1);
	rep(i,0,(Wl<<1)-1) B[i]=(A[i]+A[((Wl<<1)-i)&((Wl<<1)-1)].conj())*(A[i]-A[((Wl<<1)-i)&((Wl<<1)-1)].conj())*cp(0,-0.25);
	FFT(B,Wl<<1,-1);
	rep(i,0,n+m) printf("%d%c",(int)round(B[i].r)," \n"[i==n+m]);
}

上大佬链接：http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/8831887.html
http://blog.miskcoo.com/tag/fft