多项式求逆

最新推荐文章于 2024-10-24 09:17:40 发布
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本文介绍了如何通过牛顿迭代法求解多项式A(x)的逆B(x)，使得A(x)B(x)对模xn取余等于1。具体步骤为不断迭代公式Bn+1(x) = Bn(x) * (2 - A(x) * Bn(x))，直至找到满足条件的B(x)。

求 B ( x ) B(x) B(x)使 A ( x ) B ( x ) = 1 ( m o d x n ) A(x)B(x) = 1 \pmod {x^n} A(x)B(x)=1(modxn)
即 A ( x ) − 1 B ( x ) = 0 ( m o d x n ) A(x)-\frac 1{B(x)}=0 \pmod{x^n} A(x)−B(x)1​=0(modxn)
直接牛顿迭代即可。
B 1 ( x ) = B 0 ( x ) − A ( x ) − 1 B 0 ( x ) ( A ( x ) − 1 B ( x ) ) ′ ∣ B ( x ) = B 0 ( x ) B_1(x) = B_0(x) - \frac{A(x)-\frac 1{B_0(x)}}{(A(x)-\frac 1{B(x)})'|_{B(x)=B_0(x)}} B1​(x)=B0​(x)−(A(x)−B(x)

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在Java中，多项式的逆通常是指找到一个多项式，使得它们的乘积等于恒等多项式1。这个过程可以视为多项式函数的逆运算，即求解反函数。不过，需要注意的是，并非所有的多项式都有逆，只有那些非零常数项的多项式才有可能有逆。对于这样的多项式，我们可以利用除法的思想来近似计算。 一个简单的实现方法是使用拉格朗日插值法构建多项式，但是直接计算多项式的逆在数值上可能会不稳定，因此更常见的是在数学软件库（如Apache Commons Math）中使用专门的算法，例如Bezout's identity（贝祖定理）或者使用多项式长除法。 以下是一个基本的示例，展示了如何使用`java.math.BigInteger`类（用于处理大整数）来实现多项式模逆： ```java import java.math.BigInteger; public class PolynomialInversion { public static BigInteger[] inverse(BigInteger[] coefficients) { if (coefficients[0].equals(BigInteger.ZERO)) throw new IllegalArgumentException("Zero polynomial has no inverse."); // 倒序系数数组以便从最高次幂开始 BigInteger[] reversed = reverse(coefficients); // 计算系数的逆元 BigInteger[] inverses = new BigInteger[reversed.length]; for (int i = 0; i < reversed.length; i++) { inverses[i] = reversed[i].modInverse(reversed[reversed.length - 1]); } return reverse(inverses); // 将结果反转回原始顺序 } private static BigInteger[] reverse(BigInteger[] array) { BigInteger[] reversed = new BigInteger[array.length]; System.arraycopy(array, 0, reversed, reversed.length - 1, reversed.length); return reversed; } } ``` 在这个例子中，`inverse()`方法接收一个系数数组（按照降序排列），然后依次计算每个系数的模逆，最后返回逆向的系数数组。请注意，这只是一个简化的版本，实际应用中需要考虑更多的边界条件和精度问题。
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