[BJOI2014]大融合

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LCT

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本文介绍了一种使用LCT（链式切割树）来维护子树大小的方法，重点讲解了如何通过记录虚儿子信息来更新节点的子树大小。在LCT中，通过特殊处理虚儿子信息的方式解决了传统方法无法上传子树信息的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

雾。

题目分析：

这道题的答案显然是：
这条边连接的两棵子树大小的乘积
但是我们需要在一棵LCT上维护子树大小
LCT维护子树信息

在LCT中的splay中，expose某个点并splay到根，
那么ta的实儿子记录的信息是这条链的信息，并不是我们想要的子树信息

而所有实儿子和虚儿子的信息才是我们想要求的子树信息

但是由于虚儿子“儿子认爹，爹不认儿子”的性质，无法在update的时候上传信息

事实上，我们注意到，对于LCT所有基本操作，只有expose和link会对虚儿子的信息进行修改
那么我们每次在添加虚儿子时，顺便把虚儿子的信息也记录到父亲节点中
这样我们每次调用一个节点时，将ta实儿子的信息，加上ta的虚儿子的信息以及ta自身的信息，就是我们想要的子树信息

我们对于每个节点记录两个信息：
ta的总信息size和ta虚儿子的信息sz，
update时更新x的size为：x实儿子的size+x虚儿子的size+x本身的信息

口hu到这里就结束了，下面就是喜闻乐见的代码细节处理：

我们的主体操作并没有太大改变
我用sz存储LCT子树的信息（x结点实儿子，虚儿子以及ta本身的信息），lit储存的是虚儿子的信息

题目链接：

Luogu 4219

Ac 代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define il inline
const int maxm=1e7+100;
int n,m,sz[maxm],lit[maxm];
namespace LCT{
    int top,son[maxm][2],fa[maxm],xr[maxm],stk[maxm],rev[maxm];
    il void pushup(int x){sz[x]=sz[son[x][0]]+sz[son[x][1]]+1+lit[x];}
    il void pushdown(int x)
    {
        if(rev[x])
        {
            rev[son[x][1]]^=1,rev[son[x][0]]^=1,rev[x]=0;
            std::swap(son[x][1],son[x][0]);
        }
    }
    il bool isroot(int x){return (son[fa[x]][1]!=x&&son[fa[x]][0]!=x);}
    void rotate(int x)
    {
        int fa1=fa[x],fa2=fa[fa1],l;
        if(son[fa1][0]==x) l=0;
        else l=1;
        int r=l^1;
        if(!isroot(fa1))
        {
         if(son[fa2][0]==fa1) son[fa2][0]=x;
         else son[fa2][1]=x;
        }
        fa[x]=fa2;fa[fa1]=x;fa[son[x][r]]=fa1;
        son[fa1][l]=son[x][r];son[x][r]=fa1;
        pushup(fa1);pushup(x);
    }
    void splay(int x)
    {
        top=1;stk[top]=x;
        for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) stk[++top]=fa[i];
        for(int i=top;i;i--) pushdown(stk[i]);
        while(!isroot(x))
        {
            int y=fa[x],z=fa[y];
            if(!isroot(y))
            {
                if((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)) rotate(x);
                else rotate(y);
            }
            rotate(x);
        }
    }
    il void access(int x)
    {
        for(int t=0;x;t=x,x=fa[x])
        {
            splay(x);
            lit[x]+=sz[son[x][1]]-sz[t];
            son[x][1]=t;pushup(x);
        }
    }//打通重路径 
    il void makeroot(int x){access(x),splay(x),rev[x]^=1;}//变为此Slpay的root 
    il int findroot(int x){access(x),splay(x);while(son[x][0])x=son[x][0];return x;}//寻找x所在树的根 
    il void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
    il void link(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);fa[x]=y;lit[y]+=sz[x];pushup(y);}
    il int ask(int x,int y)
    {
        makeroot(x);access(y);splay(y);
        return sz[x]*(sz[y]-sz[x]);
    }
};
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) sz[i]=1;
    while(m--)
    {
        char s[10];
        scanf("%s",s);
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if(s[0]=='Q') printf("%d\n",LCT::ask(u,v));
        else LCT::link(u,v);
    }
    return 0;
}