算法思想--穷举/递推/递归/分治/概率思想

穷举

最简单算法，依赖计算机的强大计算能力穷尽每一种可能的情况。穷举算法效率不高，但是适合一些没有明显规律可循的场合。
比如记载于《孙子算经》之中的鸡兔同笼问题,适合用穷举思想解决。

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

遍历鸡的个数，从0到35个，得到兔的个数，判断是否满足条件

int qiongju(int head, int foot, int * chicken, int * rabbit)
{
	int re=0, i, j;
	for (i = 0; i <= head; i++)//遍历鸡为i个
	{
		j = head - i;//兔的个数
		if (i * 2 + j * 4 == foot)
		{
			re = 1;
			*chicken = i;
			*rabbit = j;
		}
	}
	return re;
}

递推

递推根据已知的条件和结果的关系，求解中间结果，根据不断推进中间结果，求得最后想要的结果。这种条件和结果的关系就如同自变量和因变量一样，所以递推思想常用于数学相关领域。
比如斐波拉契数列便适合使用递推思想来解决

如果一对两个月大的兔子以后每个月都可以生一对小兔子，而一对新生的兔子出生两个月后才可以生兔子。
也就是1月出生到3月才能产崽，那么假设一年内没有兔子死亡，一年后共有多少对兔子？

第一个月：1对兔子
第二个月：1对兔子
第三个月：2对兔子
第四个月：3对兔子
第五个月：5对兔子
可以看出，第三月后，N月是之前两个月兔子的和。
及可以得到因果的公式：F(N)=F(N-1)+F(N-2);

int ditui(int n)//输入月份，返回当月兔子数量
{
	int i, t;
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		i = ditui(n - 1);
		t = ditui(n-2);
		return i + t;
	}
}

递归

递归算法是再程序中不断调用自身来达到解决问题的方法，也是适合于数学计算
递归调用，可以直接调用自身，也可以先调用其他函数，再通过其他函数调用自身。

求阶乘

5!=5* 4 *3 *2 1
N!=N(N-1)!

int digui(int n)
{
	if (n <= 1)
		return 1;
	else
	{
		return n*digui(n - 1);
	}
}

关于递推和递归的一些区别

递推：知道第一个，推出下一个，直到达到目的。
递归：要知道第一个，需要先知道下一个，直到一个已知的，再反回来，得到上一个，直到第一个。所以递归包含递推和回溯的过程，递推是递归的子集

分治

分而治之，是一种化繁为简的思想。
1，将复杂问题划分为N个小问题
2，递归的求解每个小问题
3，将各个小问题的解合并得到圆问题的解

这里有30个硬币，其中一个是假币，但无法用肉眼区分，只知道假币比真币轻一点，如何区分

将所有的硬币划分为两份，判断那一份比较轻，再递推求解，直到只剩下两个硬币。

	int coin[30] = { 2,2,2,2,2, 1,2,2,2,2, 2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2 };
	printf("假币为第%d个\n", fenzhi(coin,0,29));

int fenzhi(int *coin,int low ,int high)
{
	int i=0, sum1=0, sum2=0, sum3=0,re;
	if (low + 1 == high)//最后两个硬币比较
	{
		if (coin[low] < coin[high])
		{
			re = low + 1;
			return re;
		}
		else
		{
			re = high + 1;
			return re;
		}
	}

	if ((high - low + 1) % 2 == 0)//查询的硬币数量为偶数
	{
		for (i = low; i <=low + (high - low) / 2; i++)//计算左半部分的重量
		{
			sum1 = sum1 + coin[i];
		}
		for ( i = low + (high - low) / 2; i<=high;i++)//计算右半部分的重量
		{
			sum2 = sum2 + coin[i];
		}
		if (sum1 > sum2)//左边重
		{
			re = fenzhi(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);//递归右边的硬币
				return re;
		}
		else if (sum1 < sum2)//右边重
		{
			re = fenzhi(coin, low, low + (high - low) / 2);//递归左边的硬币
			return re;
		}
	}
	else//查询的硬币数量为奇数
	{
		for (i = low; i <= low + (high - low) / 2-1; i++)//计算左半部分的重量
		{
			sum1 = sum1 + coin[i];
		}
		for (i = low + (high - low) / 2+1; i <= high; i++)//计算右半部分的重量
		{
			sum2 = sum2 + coin[i];
		}
		sum3 = coin[low+(high-low)/2];//中间的硬币重量
		if (sum1 > sum2)//左边重
		{
			re = fenzhi(coin, low + (high - low) / 2 + 1, high);
			return re;
		}
		else if (sum1 < sum2)//右边重
		{
			re = fenzhi(coin, low, low + (high - low) / 2-1);
			return re;
		}
		if (sum1 + sum3 == sum2 + sum3)//中间为假币
		{
			re = low + (high - low) / 2 + 1;
			return re;
		}
	}
}

概率算法思想

依照概率统计的思想来解决问题，在不能得到精确值的领域使用广
1，将问题转换为相应的几何图形，求解的问题往往是图形中的一部分
2，向几何图形中随机撒点。
3，统计在几何图形和问题区域的点数，求得结果。
4，精度不够则继续撒点

概率算法的4种形式

1，数值概率算法
2，蒙特卡罗算法
3，拉斯维加斯算法
4，舍伍德算法

蒙特卡罗算法求圆周率

ps:蒙特卡洛是一个地名，位于赌城摩纳哥，象征概率。蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是由大名鼎鼎的数学家冯·诺伊曼提出的，诞生于上世纪40年代美国的“曼哈顿计划”。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

图中一个圆面积 S=PI * R^2=PI
图中一个正方形面积为 1
只要在阴影方块中均匀撒点，只要次数过，那么点数之比S(圆内) / 方块=PI/4

double gailv(int n)
{
	double PI,x,y;
	int i, sum=0;
	srand(time(NULL));
	for (i = 1; i < n; i++)
	{
		x = (double)rand() / RAND_MAX;
		y = (double)rand() / RAND_MAX;
		if ((x*x + y*y) <= 1)
		{
			sum++;
		}

	}
	PI = 4.0*sum / n;
	return PI;

}