Codechef ：QPOLYSUM（FFT/拉格朗日插值）

传送门

题意：
求：$\sum_{i=1}^n f_i q^i( n\le 1e18, deg(f_i) \le 5e5)$

题解：
这道题有弱化版：BZOJ4126
也有弱化版的弱化版：BZOJ3516
我写了后者的题解：传送门

因为这是一般形式，所以前者的题解就直接忽略了，可以用一般形式解决。

先说明，因为这道 codechef 题的模数不是质数且范围达到$1e18$，所以本题解的代码并过不了，题解的代码是在$\pmod {1e9+7}$的意义下求解的。
以下的$k$均为多项式的次数，且$q$均不为1 （$q$为1可以直接特判）。
先说一个很神奇的$O(k)$插值法，这个方法是先猜结论再做证明的，所以并不推荐。后面有$O(k \log k)$的一般方法。

插值法

记$S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f_i q^i$ ,有结论：

$$S_n = q^n g_n - g_0$$
其中 $g(x)$ 为关于 $x$的 $\le k$次多项式。
这个结论可以通过归纳法证明。
我们分别来证明当 $f_i =i^j$时这个式子成立即可。
$j=0$ 显然成立。
$j=k-1$ 成立，那么

Sn,k=qSn,k=(q−1)Sn,k=∑i=0n−1ikqi∑i=1n(i−1)