《国际最佳数学征解问题分析》P77（单位根反演+生成函数）-优快云博客

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问题

给定 $x_1,...,x_n$ ，令 $x_i^{(1)} = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}$ ， $i = 1, . . ., n$ ，其中 $x_{n+i}=x_i$ .
归纳地定义 $x_{i}^{(k)}=\frac{x_i^{(k-1)}+x_{i+1}^{(k-1)}}{2},i=1,...,n$

其中 $x_{n+1}^{(k-1)}=x_1^{(k-1)}$ ， $k = 2, 3, . . .$ 。证明：对于 $i = 1, . . ., n$ 均成立
$\lim_{k \rightarrow \infty} x_i^{(k)} = \frac{x_1+...+x_n}{n}$

证明：

令 $w$ 表示 $n$ 次单位根，构造生成函数：
$F_0(w) = \sum_{i=1}^n x_iw^{n-i}$
那么显然 $F_i(w) = \frac{1+w}{2}F_{i-1}(w) \Rightarrow F_{k}(w) = (\frac{1+w}{2})^k F_0(w)$ 。

考虑每个 $x_i$ 的系数，可以发现问题归结为证明在二项式系数 $\binom{k}{0},\binom{k}{1},...,\binom{k}{k}$ 中将相隔 $n$ 项的各项取和后除以 $2^k$ ，当 $k\to \infty$ 极限为 $\frac{1}{n}$ ，即往证： $\forall 0 \le i <n,\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\sum_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn}}{2^k} = \frac{1}{n}$

观察这个 $i + j n$ ，是不是有点单位根反演的感觉？

$\begin{aligned}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn} &= \sum_{v=0}^{k}\binom{k}{v}\frac{\sum_{j=0}^{n-1}(w^{v-i})^j}{n}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}w^{-ij}\sum_{v=0}^k\binom{k}{v}w^{vj} \\&=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}w^{-ij}(1+w^j)^k \end{aligned}$