（51nod）1009 - 数字1的数量

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本文介绍了一种计算从1到N范围内所有数字中1的数量的方法。通过分析不同位数的情况，总结出一般规律，并提供了C++实现代码。

1009 数字1的数量

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 5 难度：1级算法题

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给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有正数，计算出其中出现所有1的个数。

例如：n = 12，包含了5个1。1,10,12共包含3个1，11包含2个1，总共5个1。

Input

输入N(1 <= N <= 10^9)

Output

输出包含1的个数

Input示例

Output示例

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640

李陶冶 (题目提供者)

参考：

http://www.cnblogs.com/jy02414216/archive/2011/03/09/1977724.html

http://www.acmerblog.com/count-ones-6202.html

#include <cstdio>

using namespace std;

int countOne(int n)
{
    int ans=0,i=1;
    int high,low,now;
    while(n/i!=0)
    {
        high=n/(i*10);
        low=n-n/i*i;
        now=n/i%10;

        if(now>1) ans+=(high+1)*i;
        else if(now==0) ans+=high*i;
        else ans+=high*i+low+1;

        i*=10;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",countOne(n));
    }
    return 0;
}

1位数的情况：

在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

2位数的情况：

N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

3位数的情况:

N=123

个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121

十位出现1的个数为20:10~19,110~119

百位出现1的个数为24:100~123

我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况：

假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。

如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。

如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。