博弈论 NIM取子问题 组合数学

Nim取子游戏是由两个人面对若干堆硬币（或石子）进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆分别含有$N_1，N_2，……N_K$ 枚硬币。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。游戏法则如下：

1．两个游戏人交替进行游戏（游戏人I和游戏人II）；
2．当轮到每个游戏人取子时，选择这些堆中的一堆，并从所选的堆中取走至少一枚硬币（游戏人可以取走他所选堆中的全部硬币）；
3．当所有的堆都变成空堆时，最后取子的游戏人即为胜者。
这个游戏中的变量是堆数k和各堆的硬币数$N_1，N_2，……N_k$。对应的组合问题是，确定游戏人I获胜还是游戏人II获胜以及两个游戏人应该如何取子才能保证自己获胜（获胜策略）。

我们看一下特殊情况如何取胜：
如果游戏开始时只有一堆硬币，游戏人I则通过取走所有的硬币而获胜。现在设有2堆硬币，且硬币数量分别为$N_1$和$N_2$。游戏人取得胜利并不在于$N_1$和$N_2$的值具体是多少，而是取决于它们是否相等。设$N_1！=N_2$，游戏人I从大堆中取走的硬币使得两堆硬币数量相等，于是，游戏人I以后每次取子的数量与游戏人II相等而最终获胜。但是如果$N_1= N_2$，则：游戏人II只要按着游戏人I取子的数量在另一堆中取相等数量的硬币，最终获胜者将会是游戏人II。

每个正整数都有对应的一个二进制数，例如：57(10)==111001(2) ，即：57(10)=$2^5+2^4+2^3+2^0$。于是，我们可以认为每一堆硬币数由2的幂数的子堆组成。这样，含有57枚硬币大堆就能看成是分别由数量为$2^5、2^4、2^3、2^0$的各个子堆组成。

如果每一种大小的子堆的个数都是偶数，我们就称Nim取子游戏是平衡的，而对应位相加是偶数的称为平衡位，否则称为非平衡位。如有3堆为5、10、15

$$5=0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0$$ $$10=1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0$$ $$15=1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0$$

这个时候：

数量级	数目
$2^0$	2
$2^1$	2
$2^2$	2
$2^3$	2

这个时候我们说上面的石子堆处于平衡状态。

我们以一个两堆硬币的Nim取子游戏作为试验。设游戏开始时游戏处于非平衡状态。这样，游戏人I就能通过一种取子方式使得他取子后留给游戏人II的是一个平衡状态下的游戏，接着无论游戏人II如何取子，再留给游戏人I的一定是一个非平衡状态游戏，如此反复进行，当游戏人II在最后一次平衡状态下取子后，游戏人I便能一次性取走所有的硬币而获胜。而如果游戏开始时游戏牌平衡状态，那根据上述方式取子，最终游戏人II能获胜。

归根结底，Nim取子游戏的关键在于游戏开始时游戏处于何种状态（平衡或非平衡）和第一个游戏人是否能够按照取子游戏的获胜策略来进行游戏。