博弈论--NIM游戏

引入

先介绍几个概念

1.公平组合游戏ICG：

• 两名玩家交替行动
• 在任意时刻，可执行的行动与玩家本身无关（游戏公平性）
• 不能行动的玩家输

2.有向图游戏

• 给定一个有向无环图，具有唯一的起点，玩家交替的把棋子沿有向边进行移动，每次移动一步，无法移动者输
• 任何ICG均可化为有向图游戏

3.先手必胜与先手必败

• 在双方均完全理性的情况下，先手不必胜则必败，先手不必败则必胜

NIM游戏：

1.介绍

NIM 游戏是一种经典的组合博弈，两名玩家轮流从若干堆石子中选择一堆，并从中取走任意数量的石子。无法继续操作的玩家判负。

2.结论

对于 $n$ 堆石子 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$

• 先手必胜态：$a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus \cdots \oplus a_n\ne 0$
• 先手必败态：$a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus \dots \oplus a_n=0$

3.证明：

通过数学归纳，从特殊推向一般。

1. 不能操作时，每堆都是 0，$0\oplus 0\oplus \dots \oplus 0=0$

2. 当 $a_1\oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n=0$，任意一步操作之后 $a_1^{\prime }\oplus a_2^{\prime }\oplus \dots \oplus a_n^{\prime }\ne 0$

   反证：对任意一步操作使 $a_i\to a_i^{\prime }$

   若 $a_1\oplus$