线段树

　　线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
　　使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，实际应用时一般还要开4N的数组以免越界，因此有时需要离散化让空间压缩。

定义：
　　线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
　　对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
　　使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

基本结构:
　　　线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。
　　下图是长度范围为[1,10]的线段树。
　　
　　长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。
　　线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。下面以插入为例，详细叙述，删除类似。
　　将一条线段[a,b] 插入到代表线段[l,r]的结点p中，如果p不是原线段，那么令mid=（l+r）/2。如果b＜mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的右儿子结点中。插入（删除）操作的时间复杂度为O（logn）。

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理解：
　　线段树上的每一个节点T[a , b]，代表该节点维护了原数列[ a , b ]区间的信息。
　　对于每一个节点他至少有三个信息：左端点，右端点，我们需要维护的信息（在本题中我们维护区间和）。
　　由于线段树是一个二叉树，而且是一个平衡二叉树，如果当前结点的编号是i，左端点为L ，右端点为 R ， 那么左儿子的 编号为 i*2 ，左端点为 L ，右端点为 （L + R)/2 ; 同理右儿子的 编号为 i*2+1，左端点为（L+R)/2 ，右端点为 R。　
　　如果当前结点的左端点等于右端点，那么该节点就是叶子节点，直接在该节点赋值即可。显然线段树是递归定义的。
　　线段树就是这样一种数据结构，讲一个大区间分为若干个不相交的区间，每次维护都在小区间上处理，并且查询也在这些被分解的区间中信息合并出我们需要的结果，这就是线段树高效的原因。
　　

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建树：
　　线段树的构建是自顶点而下，即从根节点开始递归构建，根据线段树定义，当左端点等于右端点时（达到递归边界），直接赋值即可，回溯时也要维护区间，代码如下：

void Build_Tree ( int x , int y , int i )
{

    tr[i].l = x;
    tr[i].r = y;

    if( x == y )tr[i].sum = a[x] ; //找到叶子节点，赋值

    else
    {
        ll mid = (tr[i].l tr[i].r ) >> 1 ;

        Build_Tree ( x , mid , i << 1); //左子树

        Build_Tree ( mid + 1 , y , i << 1 | 1); //右子树

        tr[i].sum = tr[i << 1].sum + tr[i << 1 | 1].sum; //回溯维护区间和

    }
}

维护树：
　　维护树的方法也很好理解，如果目标更新节点在左儿子里，去左儿子中查找；反之，在右儿子中。不断递归，知道找到需要维护的节点，更新它，回溯是一路更新回来。这就是维护的过程，代码如下：

void Update_Tree ( int q , int val , int i )
{
    if(tr[i].l == q && tr[i].r == q) //找到需要修改的叶子节点
    {
        tr[i].sum = val ; //更新当前结点
    }
    else //当前结点是非叶子结点
    {
        long long mid = (tr[i].l tr[i].r ) >> 1 ; //取中间

        if ( q <= mid ) //目标节点在左儿子中
        {
            Update_Tree ( q , val , i << 1 );
        }
        else if( q > mid ) //目标节点在右儿子中
        {
            Update_Tree ( q , val , i << 1 | 1 );
        }
        tr[i].sum = tr[i << 1].sum + tr[i << 1 | 1].sum; //回溯
    }
}

查询树：
　　查询区间求和，不难想到如果当前结点的区间完全被目标区间包含，直接返回当前结点的sum值，否则分类讨论。具体过程通过以下代码理解：
　　

long long Query_Tree ( int q , int w , int i )
{
    if ( q <= tr[i].l && w >= tr[i].r ) return tr[i].sum; //当前结点的区间完全被目标区间包含
    else
    {
        long long mid = (tr[i].l tr[i].r) >> 1;
        if( q > mid ) //完全在左儿子
        {
            return Query_Tree ( q , w , i << 1 | 1);
        }
        else if (w <= mid ) //完全在右儿子
        {
            return Query_Tree ( q , w , i << 1);
        }
        else //目标区间在左右都有分布
        {
            return Query_Tree ( q , w , i << 1) + Query_Tree ( q , w , i << 1 | 1 );
        }
    }
}