均匀分布

均匀分布(Uniform Distribution)

一个连续随机变量$X$在区间$[a,b]$上具有均匀分布，记作$X\sim Uniform(a,b)$,当它的概率密度函数满足：
$$f_X(x)=\{\begin{array}{rcl}\frac{1}{b-a}& & a\le x\le b\\ 0& & x<aorx>b\end{array}$$
它的分布函数如下所示：
$$F_X(x)=\{\begin{array}{rcl}0& & x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& & a\le x\le b\\ 1& & x>b\end{array}$$
分布函数的图像如图所示：

很容易的，我们可以求出相应的期望和方差：
$$EX=\frac{a+b}{2}$$
又有

$$\begin{array}{rcl}E{X}^2& =& {\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{f}_X(x)dx\\ & =& {\int }_a^b{x}^2(\frac{1}{b-a})dx\\ & =& \frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{array}$$
因此：
$$Var(X)=E{X}^2-(EX{)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$