动态规划java

最新推荐文章于 2024-04-24 21:07:35 发布

武科一枝花

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分类专栏： java数据结构文章标签：动态规划 java

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本文深入讲解了动态规划的基本概念、思想策略，并通过找零钱问题、走方格问题及最长公共序列问题等经典案例，详细介绍了如何应用动态规划解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、基本概念

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

二、基本思想与策略

基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

以上都过于理论，还是看看常见的动态规划问题吧！！！

三、常见动态规划问题

1、找零钱问题

有数组penny，penny中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim(小于等于1000)代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
给定数组penny及它的大小(小于等于50)，同时给定一个整数aim，请返回有多少种方法可以凑成aim。
测试样例：
[1,2,4],3,3
返回：2

解析：设dp[n][m]为使用前n中货币凑成的m的种数，那么就会有两种情况：

使用第n种货币：dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney[n]]

不用第n种货币：dp[n-1][m]，为什么不使用第n种货币呢，因为penney[n]>m。

这样就可以求出当m>=penney[n]时 dp[n][m] = dp[n-1][m]+dp[n-1][m-peney[n]]，否则，dp[n][m] = dp[n-1][m]

代码如下：

    <span style="font-size:18px;">import java.util.*;  
      
    public class Exchange {  
        public int countWays(int[] penny, int n, int aim) {  
            // write code here  
            if(n==0||penny==null||aim<0){  
             return 0;     
            }  
            int[][] pd = new int[n][aim+1];  
            for(int i=0;i<n;i++){  
             pd[i][0] = 1;     
            }  
            for(int i=1;penny[0]*i<=aim;i++){  
             pd[0][penny[0]*i] = 1;     
            }  
            for(int i=1;i<n;i++){  
                for(int j=0;j<=aim;j++){  
                    if(j>=penny[i]){  
                        pd[i][j] = pd[i-1][j]+pd[i][j-penny[i]];  
                    }else{  
                        pd[i][j] = pd[i-1][j];  
                    }  
                }  
            }  
            return pd[n-1][aim];  
        }  
    }</span>

2、走方格问题

有一个矩阵map，它每个格子有一个权值。从左上角的格子开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。
给定一个矩阵map及它的行数n和列数m，请返回最小路径和。保证行列数均小于等于100.
测试样例：
[[1,2,3],[1,1,1]],2,3
返回：4

解析：设dp[n][m]为走到n*m位置的路径长度，那么显而易见dp[n][m] = min(dp[n-1][m],dp[n][m-1]);

代码如下：

    <span style="font-size:18px;">import java.util.*;  
      
    public class GoUpstairs {  
        public int countWays(int n) {  
            // write code here  
            if(n<=2)  
                return n;  
            int f = 1%1000000007;  
            int s = 2%1000000007;  
            int t = 0;  
            for(int i=3;i<=n;i++){  
             t = (f+s)%1000000007;  
             f = s;  
             s = t;  
            }  
           return t;   
        }  
    }</span>

4、最长公共序列数

给定两个字符串A和B，返回两个字符串的最长公共子序列的长度。例如，A="1A2C3D4B56”，B="B1D23CA45B6A”，”123456"或者"12C4B6"都是最长公共子序列。
给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例：
"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12
返回：6

解析：设dp[n][m] ，为A的前n个字符与B的前m个字符的公共序列长度，则当A[n]==B[m]的时候，dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1])，否则，dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

代码如下：

    <span style="font-size:18px;">import java.util.*;  
      
    public class LCS {  
        public int findLCS(String A, int n, String B, int m) {  
            // write code here  
            int[][] dp = new int[n][m];  
            char[] a = A.toCharArray();  
            char[] b = B.toCharArray();  
           for(int i=0;i<n;i++){  
               if(a[i]==b[0]){  
                   dp[i][0] = 1;  
                   for(int j=i+1;j<n;j++){  
                       dp[j][0] = 1;  
                   }  
                   break;  
               }  
                 
           }  
             for(int i=0;i<m;i++){  
               if(a[0]==b[i]){  
                   dp[0][i] = 1;  
                   for(int j=i+1;j<m;j++){  
                       dp[0][j] = 1;  
                   }  
                   break;  
               }  
                 
           }  
           for(int i=1;i<n;i++){  
               for(int j=1;j<m;j++){  
                   if(a[i]==b[j]){  
                      dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j],dp[i][j-1]);  
                   }else{  
                       dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);  
                   }  
                         
               }  
           }   
              
            return dp[n-1][m-1];  
        }  
        public int max(int a,int b,int c){  
            int max = a;  
            if(b>max)  
                max=b;  
            if(c>max)  
                max = c;  
            return max;  
        }  
    }</span>