计算机为什么要使用补码，原码、反码和补码为何物？

1、为何产生这些疑问

最近在研究字符集的相关内容，在Java中发现汉字在gbk和utf8的编码下的byte都存在负数的情况，一下子勾起了我的好奇心，查阅了各种资料寻求答案，最终把我的目光吸引到了计算机存储数据的底层实现上，原来计算机存储的数据都是数据的补码。

2、数学依据

原码、反码、补码是面向计算机的表达方式。对于人的直观来讲是不太好理解的（除了原码）。
我们先抛开这三个名词，从生活中去慢慢发现他们的形象。我们在生活中使用的数字是十进制的，钟表可以看做是十二进制和六十进制。我们就冲这三个经常接触的事出发，去一探究竟。
首先要明白数学上的三个概念，模、同余和互补。
模：其实可以简单的理解为一个范围，超出这个范围以后回到原点，即为一个轮回。比如十进制的一个轮回就是10，到10以后就是0，因为一位数只能表示最多到9。那么这个范围就是10。
同余：字面意思就是相同的余数，当然余数相同的前提是在同一个模。A数加上或者减去一个模的整数倍得到的数都为A数的同余数。比如：在钟表中，2点的同余数是14点。
互补：互补也是在相同的模M前提下。模M减去A数得到的B数即为A数的互补数。即：A+B = M。

3、数学运算探索

我们来看一个十进制的运算：
7-5=2；根据人的运算能力这种计算很容易得出结果，但是计算机为了控制底层电子电路的复杂度，减法运算的实现就需要更多的逻辑电路去支持，显然是一件不友好的事情。那我们继续往下看，能不能把减法运算用加法实现呢？
这时候，补数就有了用武之地：
7-5 -> 7 +（10-5）-> 7+5 = 12;结果不对呀，但是你仔细观察两次的结果的关系就会发现神奇的事情，12和2是相对于10的同余数。其实到这里已经可以说明问题了，但是我当初理解到这里并没有明白将减法变成，被减数加上减数的补数的加法是可行的，因为两次结果虽然是同余数，但是到底还是两个不同的数，如何得到正确的结果？我们继续。
聪明的人可能已经有答案了，那就是把高位的1舍去不就是正确答案吗？那为什么舍去高位？这又会是一个问题：
与其说舍去高位不如说舍去一模M,再举一个例子，这次我们把模M设为30：
12-10 -> 12+20 = 32；舍去模M结果是2，正确结果。
可能很多人对于设置模M还是很困惑，其实你可以看一下前面我给模M的描述的时候就说了，可以理解为一个范围一个轮回。为什么要有这个限制，往后看，你就明白了。

3、byte的取值范围

现在我们进入计算机的二进制世界：
接下来做的运算都是在一byte（字节）能够表示的数字的范围内。因为计算机中存储有效数据的最小单位为byte（字节）。没错这个byte就是模M，一个byte是由8个bit（二进制位）组成的，8位能表示最多256个数，由于计算机中需要表示不同符号的数，所有byte的最高位是用来表示符号的，所以真正用来存储数字的只要7bit，那7bit能表示的数就是128个，那byte的模M也就是128。高出128的数都是无法表示的包括128在内。
高位表示符号即：1为负数，0为正数，00000000表示十进制的+0，那10000000表示十进制的-0吗？从上面的表述来看似乎没有问题，但是计算机设计的时候就已经意识到这个问题了1byte能表示256个数，如果出现两个0（因为+0和-0表示的都是0）的话那么就白白浪费了一个数据位。其实10000000表示的是-128（00000000其实在128的模M中和128都是0，那么10000000在不能表示-0的情况下表示-128就顺理成章了），所以byte能表示的数为[-128,127]。

4、原码、反码、补码的定义

进入正题，来了解一下原码、反码和补码。
原码：二进制正真要表示的数字；
反码：原码的各个二进制位取反得到的数（0变1,1变0，如：00110100的反码为11001011） ；
补码：原码的各个二进制位取反之得到的数加1，即反码加1，（正数的补码就是原码，负数的补码高位的1不变）；
知其然不知其所以然，很多人都是死记硬背这个概念和定义，但如果你是刚接触，过一段时间你可能就会忘记这些定义的其中一部分。

5、补码定义解疑

上面的三个定义，原码和反码没有必要过多解释，但是，补码码的计算方式很多人是困惑的，为什么要各位取反再加1？
回到前面的互补数，我们知道，互补数，假设一个数A,求A在模M下的补数=M-A;同理，一个二进制数B,求它的补码（负数的情况下）=M-B,其实和互补数的求法是一样的，那为什么是取反后加1呢？我们直接用二进制数来看一下：
M = 10000000;
B = 10000001;
我们知道byte的高位是符号位不表示数字，那么这个模M(128)显然是不能用来计算的，但是，没关系我们可以用1111111（127，M-1）来替代模M，那么前面的计算就可以是M-1-B+1,这样间接计算B的补数，这样一来127的二进制低7位各个位都是1，减去一个小于128的数就好比这个数各位取反，由于我们把模M的值低估了1所有取反之后再加1就刚好是B在128模M下的补数，即补码。
说到这里应该都明白补码定义的根本了。

6、总结

为了计算的方便，计算机中的数据都以补码的形式存储（正数的补码就是原码），便于理解我们可以把补码理解为在一个固定模M下原数的补数，只是这里只对负数的无符号数有效。Byte的长度是8bit，高位的一个bit用来表示符号1为符号，0为正号。Byte表示的整数范围[-128,127]，在Java中int类型用4个byte即32bit表示模M为2的32次方，int取值[-（2的32次方），2的31次方]。