数值积分：梯形规则--复合梯形规则--辛普森规则--复合辛普森规则--龙贝格求积公式

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#数值积分 #梯形规则 #辛普森规则 #龙贝格求积公式

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本文介绍了数值积分中的几种重要方法，包括梯形规则、辛普森规则及其复合形式，以及龙贝格求积公式。通过这些方法可以有效解决复杂的积分问题。

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数值积分：梯形规则--复合梯形规则--辛普森规则--复合辛普森规则--龙贝格求积公式

1.问题描述

微积分方法求积有很大的局限性，当碰到被积函数很复杂时，找不到相应的原函数。积分值

在几何上可解释为由 x=a,x=b,y=0和y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积。积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲线。

2.理论与方法

依据积分中值定理，底为b-a,而高为f(e)的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I.f(e)称作区间[a,b]上的平均高度。这样，只要对平均高度f(e)提供一种算法，便相应地获得一种数值求积的算法。

1.梯形规则(Trapezoidal rule)

简单选取区间[a ,b]的中点高度作为平均高度。取h=b-a

a0=⌠(a-b)(x-b)/(a-b)dx=(b-a)/2

a1=⌠(a-b)(x-a)/(b-a)dx=(b-a)/2

得到：

2.辛普森规则(Simpson rule)

可视作用a , b与c=(a+b)/2三点高度的加权平均值作为平均高度。

3.复合梯形规则(Composite numerical)

设将求积区间[a,b]划分为n等份，步长h=(b-a)/2 ,等分点为xi=a+bi , i=0,1,...,n 所谓复化求积法，就是先用低阶求积公式求得每个子段[xi,xi+1]上的积分值,然后再将它们累加求和，用各段积分之和Ii,i=0,1,n-1作为所求积分的近似值。

复化梯形公式：

4.复合辛普森规则(Composite Simpson)

记子段[xi,xi+1]的中点为则复化公式为

复化Simpson公式：

5.龙贝格求积公式(Romberg)

龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.

在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

对区间[a， b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2k}。

T1=h[f(a)+f(b)]/2

把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2，于是

T2 =/2+[h/2]f(a+h/2）

把区间四(2)等分，每个小区间长度为h/4 =（b-a）/4，于是

T4 =/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................

把[a，b] 2等分，分点=a+（b-a）/ 2 ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2 .

3.算法与设计

1. 梯形规则 ( Trapezoidal rule )

计算区间端点函数值，代入公式：

2. 辛普森规则( Simpson rule )

计算区间端点及中点函数值，代入公式

3.复合梯形,辛普森规则(Composite)

4.龙贝格求积公式(Romberg)

已给函数f(x),求积区间[a,b] 及精度e

准备初值：令 h=b-a,n=1 在步长二分过程中，逐步生成，并存数据T8,S4,C2,R1于单元t1,s1,c1,r1中

二分求梯形值 h=h/2,n=2n 根据公式求出新的梯形值，存于单元t2中

松弛加速：根据公式求加速值，存于单元s2,c2,r2中

精度控制：如果|r2-r1|<e,则输出r2作为结果，终止计算；

否则t1=t2,s1=s2,c1=c2,r1=r2，转2继续二分。

4.代码

void tra()
{
	cout << endl;
	cout << "trapezoidal rule" << endl;
	double a = 0, b = 0.8;
	double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a,2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);
	double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);
	double n = 100;
	double h = (b - a) / n;
	double w[100]; w[0] = 0;
	double f[100];
	for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);
	}
	double s = 0;
	s = ((h - a) / 2)*(fa + f[1]);
	for (int i = 2; i < n; i++)
	{
		s += ((h / 2)*(f[i] + f[i - 1]));
	}
	s+= ((h / 2)*(fb + f[99]));
	cout << s << endl;
}

void sim()
{
	cout << endl;
	cout << "simpson's rule" << endl;
	double a = 0, b = 0.8;
	double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);
	double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);

	double n = 100;
	double h = (b - a) / n;
	double w[100]; w[0] = 0;
	double f[100];
	for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);
	}
	double s = 0;
	f[0] = fa;

	for (int i = 1; i < n-1; i+=2)
	{
		s += (2*h / 6)*(f[i-1] + 4*f[i]+f[i+1]);
	}

	cout << s << endl;
}

void com_tra()
{
	cout << endl;
	cout << "the composite trapezoidal rule" << endl;
//	double h = 0.1;
	double a = 0, b = 0.8;
	double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);
//	double f7 = 0.2 + 25 * h*7 - 200 * pow(h * 7, 2) + 675 * pow(h * 7, 3) - 900 * pow(h * 7, 4) + 400 * pow(h * 7, 5);
	double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);
	
	double n = 100;
	double h = (b - a) / n;
	double w[100]; w[0] = 0;
	double f[100];
	for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);
	}
	double s = 0;
	f[0] = fa;
	for (int i = 1; i < n ; i++)
	{
		s += (h / 2)*( 2 * f[i]);
	}
	s += (h / 2)*(fa + fb);
	cout << s << endl;
}

void com_sim()
{
	cout << endl;
	cout << "the composite simpson's rule" << endl;
	//	double h = 0.1;
	double a = 0, b = 0.8;
	double fa = 0.2 + 25 * a - 200 * pow(a, 2) + 675 * pow(a, 3) - 900 * pow(a, 4) + 400 * pow(a, 5);
	double fb = 0.2 + 25 * b - 200 * pow(b, 2) + 675 * pow(b, 3) - 900 * pow(b, 4) + 400 * pow(b, 5);

	double n = 100;
	double h = (b - a) / n;
	double w[100]; w[0] = 0;
	double f[100];
	for (int i = 1; i < n; i++) w[i] = w[i - 1] + h;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		f[i] = 0.2 + 25 * w[i] - 200 * pow(w[i], 2) + 675 * pow(w[i], 3) - 900 * pow(w[i], 4) + 400 * pow(w[i], 5);
	}
	double s = 0;
	f[0] = fa;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (i % 2) s += (h / 3)*(2 * f[i]);
		else s += (h / 3)*(4 * f[i]);
	}
	s += (h / 3)*(fa + fb);
	cout << s << endl;
}

End