poj3613-floyd+邻接矩阵乘法

参考于：08年论文：俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》

图邻接矩阵上的乘法：

             图的邻接矩阵可以唯一地表示一张图，并且有很多神奇的性质。接下来我们 将研究邻接矩阵上的矩阵乘法。

        首先，我们来看一下最简单的情况，一张N个点的无向无权图。如果点a和 点b连边，那么邻接矩阵G[a,b] = G[b,a] = 1，否则都等于0。考虑邻接矩阵自 乘，即G2：

                  G2 [a,b] = N ∑ i=1 G[a,i]G[i,b]                                    (9) 

         上式中，G[a,i],G[i,b]的值或者等于0或者等于1。易知当且仅当G[a,i], G[i,b]都是1的时候值为1，即如果从点a到点i、点i到b都有边，那么值为1。 而G2 [a,b]的值就等于值为1的项数，也就是从点a到点b经过1个中间点的路径条 数。我们继续考虑G3：

                  G3 [a,b] =N ∑ i=1N ∑ j=1G[a,i]G[i,j]G[j,b]                 (10)

        和G2很相似，G[a,i]G[i,j]G[j,b] = 1当且仅当G[a,i] = G[i,j] = G[j,b] = 1，也就是说a−i−j−b组成一条路经。那么G3 [a,b]的值就是从点a到点b经过2个 中间点的路径条数。从另一个方面来说，G3 = G2G，从点a到点b经过2个中间 点的路径中，第二个中间点是i的路径条数恰好为G2 [a,i]G[i,b]，从这里也可 以说明上一个结论。那么更一般的，Gk [a,b]是否就等就a到b经过k −1个中间 点也就是长度为k的路径条数呢？答案是肯定的。和前面的推导很相似，可以 使用归纳法证明，Gk = Gk−1G，那么