NOIP2016Day2T1-组合数问题

A: 组合数问题

时间限制: 1 Sec  内存限制: 512 MB

题目描述

组合数C(n,m)表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从(1, 2, 3)三个物品中选择两个物品可以有(1, 2),(1, 3),(2, 3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数C(n,m)的一般公式：

C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)

其中n!= 1×2×···×n。

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)有多少对

(i,j)满足C(i,j)是k的倍数。

输入

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出

t行，每行一个整数代表所有的0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)中有多少对(i,j)满足C(i,j)是k的倍数。

样例输入

1 2

3 3

2 5

4 5

6 7

样例输出

1

0

7

提示

【样例 1 说明】

在所有可能的情况中，只有C(2,1)=2 是2的倍数。

【子任务】

测试点	n	m	k	t
1	≤3	≤3	=2	=1
2			=3	≤104
3	≤7	≤7	=4	=1
4			=5	≤104
5	≤10	≤10	=6	=1
6			=7	≤104
7	≤20	≤100	=8	=1
8			=9	≤104
9	≤25	≤2000	=10	=1
10			=11	≤104
11	≤60	≤20	=12	=1
12			=13	≤104
13	≤100	≤25	=14	=1
14			=15	≤104
15		≤60	=16	=1
16			=17	≤104
17	≤2000	≤100	=18	=1
18			=19	≤104
19		≤2000	=20	=1
20			=21	≤104

我们可以先求出C(i,j)的值。通过找规律可以发现这是一个杨辉三角。可以求出记为f[i,j]并 mod k。然后记dp[i,j]为C(i,j)的个数。当f[i,j]=0时，dp[i,j]=dp[i,j-1]+1，否则dp[i,j]=dp[i,j-1]。最后每组从1到m循环一遍求解即可。

Code：

var
  t,k,i,j,ans,n,m:longint;
  dp,f:array[0..2000,0..2000] of longint;
begin
  readln(t,k);
  for i:=0 to 2000 do f[i,0]:=1;
  for i:=1 to 2000 do
    for j:=1 to i do
      f[i,j]:=(f[i-1,j]+f[i-1,j-1]) mod k;
  for i:=1 to 2000 do
    for j:=1 to i do
      if f[i,j]=0 then
        dp[i,j]:=dp[i,j-1]+1 else
          dp[i,j]:=dp[i,j-1];
  for i:=1 to t do
  begin
    ans:=0;
    readln(n,m);
    for j:=1 to n do
      if j>m then ans:=ans+dp[j,m]
        else ans:=ans+dp[j,j];
    writeln(ans);
  end;
end.