【DP】【单调队列】Codeforces1131G Most Dangerous Shark

最新推荐文章于 2024-03-12 19:44:03 发布

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探讨了一道关于多米诺骨牌排列的问题，目标是找到将所有骨牌推倒所需的最小代价。通过动态规划解决，利用单调栈优化算法至线性时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给出一排多米诺骨牌各自的高度，以及推到它的代价。

推到既可以向左也可以向右。

求全部推到的最小代价。

输入格式较为恶心

分析：

比赛中是真没时间去做了。
读题读了20min…（主要是输入格式）

首先，有一个很显然的DP
$dp_i$ 表示前i个骨牌全部推到的最小代价。
那么有2种转移方式：
假设把i向左推，能倒的最远的一个骨牌编号为j。
$dp_i=dp_{j-1}+cost_i$
S为一骨牌集合，其中的每个骨牌均满足：在i左边，且将其向右推能推倒i
$dp_i=min\{dp_{S_k-1}+cost_{S_k}\}$

裸做是 $O(N^2)$

考虑优化
有一个很显然的性质：
假设 $i$ 向右推，能倒的最远的位置为 $j$
如果满足 $j≥i+1j\geq i+1$ ，那么将 $i + 1$ 向右推，能倒的最远位置一定不超过 $j$
因为i能推倒i+1，所以i+1倒了能推倒的位置i就一定能推倒。

有了这个性质，就可以用单调栈来维护集合S（即在i某侧，并能推倒i的集合）。

加入一个新位置 $i^{'}$ 后，检查队首元素能否直接推倒 $i^{'}$

然后做两遍单调栈，第二次维护一下栈的前缀最小值即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXM 10000010
#define MAXN 250010
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
vector<int> pri[MAXN],he[MAXN];
ll p[MAXM];
int st[MAXM],top,h[MAXM],tot,lft[MAXM];
ll minv[MAXM],dp[MAXM];
int main(){
	SF("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		SF("%d",&tot);
		he[i].resize(tot);
		pri[i].resize(tot);
		for(int j=0;j<tot;j++)
			SF("%d",&he[i][j]);	
		for(int j=0;j<tot;j++)
			SF("%d",&pri[i][j]);
	}
	ll mul;
	int q,id;
	SF("%d",&q);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		SF("%d%lld",&id,&mul);	
		for(int j=0;j<int(he[id].size());j++){
			h[++cnt]=he[id][j];
			p[cnt]=1ll*pri[id][j]*mul;
		}
	}
	
	for(int i=m;i>=1;i--){
		while(top>0&&i<=st[top]-h[st[top]]){
			lft[st[top]]=i+1;
			top--;
		}
		st[++top]=i;
	}
	while(top>0){
		lft[st[top]]=1;
		top--;	
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(top>0&&i>=st[top]+h[st[top]])
			top--;
		dp[i]=dp[lft[i]-1]+p[i];
		if(top>0)
			dp[i]=min(dp[i],minv[top]);
		st[++top]=i;
		minv[top]=dp[i-1]+p[i];
		if(top>1)
			minv[top]=min(minv[top],minv[top-1]);
	}
	PF("%lld",dp[m]);
}