【DP】BZOJ2216 [Poi2011]Lightning Conductor

最新推荐文章于 2019-01-08 22:58:00 发布

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分类专栏： DP

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本文探讨了一种少见的决策单调性问题，通过转换题目，利用单调队列优化动态规划算法，解决了求最大值的问题。文章详细介绍了如何判断决策的单调性，并给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

感觉很少见到这种决策单调性的题。。。

首先，转换一下题目，变为求 $P=max{aj+∣i−j∣}−aiP=max\{a_j+\sqrt {|i-j|}\}-a_i$

然后就有了决策单调性：
如果在计算i时，j>k,且j优于k，那么在计算i+1时，j仍然优于k（ $f(x)=xf(x)=\sqrt x$ 的导函数单减）

然后就可以得到一个显然的性质：
对每个位置而言，以它为最优选择的位置一定是一个连续的区间。

然后就可以用单调队列来优化DP了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 500010
#define EPS 1e-6
using namespace std;
int n;
double a[MAXN],f[MAXN];
struct node{
	int l,r,pos;
	node (){}
	node(int l1,int r1,int pos1):l(l1),r(r1),pos(pos1) {}
}q[MAXN];
double calc(int j,int i){
	return a[j]-a[i]+sqrt(1.0*fabs(i-j));
}
int find_pos(int l,int r,int pl,int pr){
	int ans=r;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(calc(pl,mid)>calc(pr,mid))
			l=mid+1;
		else{
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}
	}
	return ans;
}
int tail,head;
void solve(){
	tail=0;
	head=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		q[head].l++;
		while(head<=tail&&q[head].l>q[head].r)
			head++;
		if(head>tail||calc(i,n)>calc(q[tail].pos,n)){
			while(head<=tail&&calc(q[tail].pos,q[tail].l)<calc(i,q[tail].l))
				tail--;
			if(head>tail)
				q[++tail]=node(i,n,i);
			else{
				int posx=find_pos(q[tail].l,q[tail].r,q[tail].pos,i);
				q[tail].r=posx-1;
				q[++tail]=node(posx,n,i);
			}
		}
		f[i]=max(f[i],calc(q[head].pos,i));
	}
}
int main(){
	SF("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		SF("%lf",&a[i]);
	solve();
	reverse(a+1,a+1+n);
	reverse(f+1,f+1+n);
	solve();
	reverse(f+1,f+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		PF("%d\n",int(ceil(f[i])));
}