【数学期望】【NOIP模拟赛】连续段的期望

题目描述

小 N 最近学习了位运算，她发现2个数xor之后数的大小可能变大也可能变小，and之后都不会变大，or之后不会变小。于是她想算出以下的期望值：现在有$N$个数排成一排， 如果她随意选择一对 $l,r$并将下标在$l$和$r$中间(包括$l$,$r$)的数(xor,and,or)之后，期望得到的值是多少呢？取出每一对$l,r$的概率都是相等的。小 G 认为这太 easy 了【这太imba了】，容易被你们水过去，因此你需要告诉他所有选择情况下，(xor,and,or)值的和。

输入

第一行1个正整数$N$。
第二行$N$个非负整数代表数列。

输出

共两行六个数。 第一行3个数，分别表示xor的期望，and的期望，or的期望，保留3位小数。 第二行3个数，分别表示xor的和，and的和，or的和。

样例输入

2
4 5

样例输出

2.750 4.250 4.750
11 17 19

数据范围

30%数据中$1\le N\le 1000$
对于另外的30%数据数列中只包含0和1
对于100%的数据$1\le N\le 100000$，数列中的数$\le 10^9$

样例解释

l, r	xor	and	or
1,1	4	4	4
1,2	1	4	5
2,1	1	4	5
2,2	5	5	5

每一组$l,r$取的概率都是相同的，xor=(4+1+1+5)/4=2.750。其他同理 。

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算法一

对于前30%数据，考虑暴力枚举$l$后扫到$r$并统计答案，期望则是每种运算的和除以n^2，时间复杂度$O(n^2)$，期望得分30分。

算法二

对于只包含0和1的数列，考虑三种运算的性质。

对于xor运算

• 一段区间内如果包含奇数个1，则区间xor和为1；
• 如果包含偶数个1，则区间xor和为0。
• 可以发现若$r\ge l$，对于每个1，其能对答案贡献的区间为以这个1及以前所有连续的0为开始，以这个1和从这个1开始统计序号为奇数的1以及他们后面连续的0为结尾的区间。可分奇偶做。
• 举个栗子：
  $$0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1$$
• 对于第一个1，有贡献的区间开始为$\{1,2\}$，有贡献的区间结尾为$\{7,8,9,12\}$。乘起来就是贡献为8。
• 对于每个1，可以统计出其前后的连续0个数，从前向后扫描时，可以先处理后面所有有贡献的1的后面的0的后缀和。为处理$r\lt l$的情况，将前方统计乘2减去1的个数即可（$l=r$）。

对于and运算

• 一段区间内如果包含0，则区间and和为0；
• 一段区间内如果全为1，则区间and和为1。
• 从前向后扫描连续为1的区间，这段区间对答案的贡献就是区间长度的平方。

对于or运算

• 一段区间如果包含1，则区间or和为1；
• 一段区间如果全为0，则区间or和为0。
• 从前向后扫描连续为0的区间，则有区间长度平方的区间无贡献，总贡献为$n^2$减去区间长度平方和。
• 可在统计xor时顺便统计出来

时间复杂度$O(n)$，期望得分30分。
结合算法一，期望得分60分。

算法三

其实出题人已经指了一条明路。容易发现，可以对数列中的数的二进制表示的每一位分别做算法二。因为xor，and，or这些运算分别为按位运算，各数位之间无影响。
时间复杂度$O(32n)$，期望得分100分。

上代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
struct one{
    int fore, back;
}even[50001], odd[50001];
//从0开始序号为偶数和奇数的1
long long n, arr[100002], l1, l2, l3, a1, a2, a3, sufe[50000], sufo[50000];
//N，数列，当前位三种运算和，总和，序号为偶和奇的1的back后缀和
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld", &arr[i]);
    for(int k=0;k<=31;k++){
        //枚举k位
        (arr[n]=1)<<=k;
        //边界
        memset(odd, 0, sizeof odd); memset(even, 0, sizeof even); memset(sufe, 0, sizeof sufe); memset(sufo, 0, sizeof sufo);
        long long cnt=0, zeros=0; l1=l2=l3=0;
        //一的个数，连续0的个数
        for(int i=0;i<=n;i++){
            if(!(arr[i]&arr[n])) zeros++;
            else{
                l3+=zeros*zeros;
                //统计or和
                if(cnt&1)
                    odd[cnt>>1].fore=zeros+1, even[cnt>>1].back=zeros+1;
                else even[cnt>>1].fore=zeros+1, odd[(cnt>>1)-1].back=zeros+1;
                //奇偶分别处理，注意cnt
                cnt++; zeros=0;
            }
        }
        cnt--;
        sufe[cnt>>1]=even[cnt>>1].back;
        for(int i=(cnt>>1)-1;~i;i--)
            sufe[i]=sufe[i+1]+even[i].back;
        for(int i=0;i<=(cnt>>1);i++)
            l1+=even[i].fore*sufe[i];
        if(cnt&1){
            sufo[cnt>>1]=odd[cnt>>1].back;
            for(int i=(cnt>>1)-1;~i;i--)
                sufo[i]=sufo[i+1]+odd[i].back;
            for(int i=0;i<=(cnt>>1);i++)
                l1+=odd[i].fore*sufo[i];
        }
        else{
            sufo[(cnt>>1)-1]=odd[(cnt>>1)-1].back;
            for(int i=(cnt>>1)-2;i>=0;i--)
                sufo[i]=sufo[i+1]+odd[i].back;
            for(int i=0;i<(cnt>>1);i++)
                l1+=odd[i].fore*sufo[i];
        }
        //同样注意cnt的奇偶
        (l1*=2)-=cnt;
        l3=n*n-l3;
        long long ones=0; arr[n]=0;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            if(arr[i]&(1ll<<k)) ones++;
            else l2+=ones*ones, ones=0;
        }
        //统计and和
        a1+=l1<<k; a2+=l2<<k; a3+=l3<<k;
        //统计第k位上的答案
    }
    printf("%.3lf %.3lf %.3lf\n%lld %lld %lld\n", double(a1)/(n*n), double(a2)/(n*n), double(a3)/(n*n), a1, a2, a3);
    return 0;
}

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按位处理好强。