洛谷 P1052 过河（离散化+dp）

最新推荐文章于 2024-08-15 21:49:48 发布

Alex Su (*^▽^*)

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分类专栏：动态规划

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本文探讨了在面对大规模数据范围时，如何通过数学方法进行有效离散化，以优化动态规划(DP)算法的实现。特别介绍了将距离对特定数值取模的方法，以及在空间优化方面的技巧，为解决具有大量状态转移的DP问题提供了实用的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

dp非常好想， f[i] = min(f[i-len] + stone[i]) s <= len <= t
然后因为L非常大，所以我就不知道该怎么搞了
我看到m只有100，而L有1e9，我就知道肯定要通过某种数学方法来离散化
然而我并没有想出来这个数学方法

看来题解，原来这个方法很简单，我怎么就没有想到
因为最大走10步，所以把距离对1到10的最小公倍数是2520取模就好了。
离散化之后就可以愉快地dp了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXM = 312345;
const int MAXN = 112;
int f[MAXM], a[MAXN], d[MAXN];
int stone[MAXM], s, t, n, L;

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d", &L, &s, &t, &n);
	_for(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1);
	
	_for(i, 1, n) d[i] = (a[i] - a[i-1]) % 2520;
	_for(i, 1, n) a[i] = a[i-1] + d[i], stone[a[i]] = 1;
	L = a[n];
	
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[0] = 0;
	_for(i, 1, L + t)
		_for(len, s, min(i, t))
			f[i] = min(f[i], f[i-len] + stone[i]);
	
	int ans = 1e8;
	_for(i, L, L + t)
		ans = min(ans, f[i]);
	printf("%d\n", ans);
	
	return 0;
}

当然还有更好的优化方式

当距离小于t时保持不变，大于t时，改成d % t + t（一定要再加上t！！！）

我一开始是有想到，但是我想到还有s，s+1等
说实话不用想得这么完美，直接用最大的t模就好了。

这样空间可以开小很多。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXM = 2123;
const int MAXN = 112;
int f[MAXM], a[MAXN], d[MAXN];
int stone[MAXM], s, t, n, L;

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d", &L, &s, &t, &n);
	_for(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
	sort(a + 1, a + n + 1);

	_for(i, 1, n) 
	{
		d[i] = a[i] - a[i-1];
		if(d[i] > t) d[i] = (d[i] % t) + t; 
	}
	_for(i, 1, n) a[i] = a[i-1] + d[i], stone[a[i]] = 1;
	L = a[n];
	
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[0] = 0;
	_for(i, 1, L + t)
		_for(len, s, min(i, t))
			f[i] = min(f[i], f[i-len] + stone[i]);
	
	int ans = 1e8;
	_for(i, L, L + t)
		ans = min(ans, f[i]);
	printf("%d\n", ans);
	
	return 0;
}