[算法基础课] AcWing 787. 归并排序

前言

时间复杂度 : $O(nlogn)$
Tag : 归并排序 逆序对
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思路

回顾归并思路 :

1. 将区间一分为二
2. 递归排序区间
3. 合并区间

对于逆序对,我们发现在递归过程中,我们只有两种情况需要考虑

1. 在同一个区间的逆序对
2. 不在同一个区间的逆序对
   

因为归并排序每次都会将大区间划分为小区间,即一个分治的过程

所以最后(1) 在同一个区间的逆序对其实是包含在(2)内的

因此我们考虑(2)是如何计算的

我们设已经排好序的左右区间是L,R, 那么考虑如图情况

如果L[i] > R[j]那么i前面的数必然不能比R[j]大,因为已经排好序,而其后面的数一定大于R[j]

因此对于当前的j会贡献mid-i+1个逆序对

因此我们根据这个公式分治即可

代码

LL merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return 0;

    int mid = l + r >> 1;

    LL res = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else
        {
            res += mid - i + 1; //计算答案
            tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
        }
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];

    return res;
}