模板：数学2

一元线性同余方程组：

x=r[ i ](mod a[ i ])

将两个方程整合成一个，不断整

比如x%8=7，x%11=9  整合成x%88= -57（31）

ll solve(){
    ll M=a[1],R=r[1],x,y,d;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        gcd(M,a[i],d,x,y);
        if((R-r[i])%d!=0) return -1;
        x=(R-r[i])/d*x%a[i];
        R-=x*M;
        M=M/d*a[i];
        R%=M;
    }
    return (R%M+M)%M;   //这句能保证回到正整数
}

中国剩余定理：

与上面条件不同，需要除数数组m[i]两两互质。

ll a[maxn],m[maxn];
ll china(int n, ll* a, ll* m){
    ll M = 1, d, y, x = 0;
    for(int i = 0; i<n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i = 0; i<n; i++){
        ll w = M / m[i];
        gcd(m[i], w, d, d, y);
        x = (x + y*w*a[i]) % M;
    }
    return (x+M)%M;
}

欧拉函数phi：

通式：

        比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

 

性质：

1.欧拉函数是 积性函数——若m,n互质， 

 

 

      特殊性质：当n为奇数时， 

   

积性函数 （对于正整数n的一个函数 f(n)，当中f(1)=1且当a,b互质，f(ab)=f(a)f(b)）

2.若n是质数p的k次幂， 

   

  ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

  若n为质数则 

 

//用公式求 n 的欧拉函数值  
ll eular(ll n){    
    ll i,j,ans=n;    
    for(i=2;i*i<=n;i++){    
        if(n%i==0){    
            ans=ans/i*(i-1);    
            while(n%i==0)    
                n/=i;    
        }    
    }    
    if(n>1)    
        ans=ans/n*(n-1);    
    return ans;    
}   
//线性筛：同时求欧拉函数和质数表  
const int MAXN = 10000000;  
bool check[MAXN + 10];  
ll phi[MAXN + 10], prime[MAXN + 10];  //int数组容易wa  
int tot;    //  素数个数  
  
void phi_and_prime_table(int N){       //phi[0]=0,prime[0]=2  
    memset(check, false, sizeof(check));  
    phi[1] = 1;  
    tot = 0;  
    for (int i = 2; i <= N; i++){  
        if (!check[i]){  
            prime[tot++] = i;  
            phi[i] = i - 1;  
        }  
        for (int j = 0; j < tot; j++){  
            if (i * prime[j] > N){  
                break;  
            }  
            check[i * prime[j]] = true;  
            if (i % prime[j] == 0){  
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];  
                break;  
            }  
            else  
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);  
        }  
    }  
    return ;  
}

//普通筛，有时甚至比线性筛快
int n,p,tot;  
int phi[N],pri[1000005];  
bool mark[N];  
void getphi(){   //phi[1]=1,pri[1]=2  
    phi[1]=1;  
    for(int i=2;i<=n;i++){  
    if(!mark[i]){phi[i]=i-1;pri[++tot]=i;}  
    for(int j=1;j<=tot;j++){  
        int x=pri[j];  
        if(i*x>n)break;  
        mark[i*x]=1;  
        if(i%x==0){phi[i*x]=phi[i]*x;break;}  
        else phi[i*x]=phi[i]*phi[x];  
        }  
    }  
}
//单独求欧拉函数，较灵活
int p,pr[N];    
bool prime[N];    
int k=0;    
void isprime(){    
    int i,j;    
    memset(prime,true,sizeof(prime));    
    for(i=2;i<N;i++){    
        if(prime[i]){    
            pr[k++]=i;    
            for(j=i+i;j<N;j+=i)     
                prime[j]=false;    
        }    
    }    
}    
int phi(int n){    
    int rea=n,i;    
    for(i=0;pr[i]*pr[i]<=n;i++){    
        if(n%pr[i]==0){    
            rea=rea-rea/pr[i];    
            while(n%pr[i]==0)  n/=pr[i];    
        }    
    }    
    if(n>1)    
      rea=rea-rea/n;    
    return rea%p;    
}