Matrix Power Series poj3233矩阵快速幂

最新推荐文章于 2024-08-17 03:23:33 发布

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矩阵的快速幂

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本文介绍了一种高效计算矩阵A的幂级数求和的方法，即求S = A + A² + ... + A^k (k≤10^9)。通过构建扩展矩阵并利用快速幂算法，实现O(n^3logk)的时间复杂度。

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Matrix Power Series

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 20527		Accepted: 8612

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

令S[k]=I+A+……+A^(k-1)（其中I是单位矩阵）

时间复杂度为O(n^3logk)

AC代码:

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 65
typedef long long ll;
int Mod,n,k;
struct Matrix
{
    int row,col;
    ll mat[N][N];
    void init(int row,int col,bool ok=false){
        this->row=row;
        this->col=col;
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        if(!ok) return;
        for(int i=0;i<N;i++){
            mat[i][i]=1;
        }
    }
    Matrix operator *(const Matrix& B){
        Matrix C;
        C.init(row,B.col);
        for(int k=0;k<col;k++){
            for(int i=0;i<row;i++){
                if(mat[i][k]==0) continue;
                for(int j=0;j<B.col;j++){
                    if(B.mat[k][j]==0) continue;
                    C.mat[i][j]+=(mat[i][k]%Mod)*(B.mat[k][j]%Mod);
                    C.mat[i][j]=C.mat[i][j]%Mod;
                }
            }
        }
        return C;
    }
    Matrix pow(ll n){
        Matrix B,A=*this;
        B.init(row,col,1);
        while(n){
            if(n&1) B=B*A;
            A=A*A;
            n>>=1;
        }
        return B;
    }
};
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&Mod);
    Matrix A,B;
    A.init(n,n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            scanf("%d",&A.mat[i][j]);
        }
    }
    B.init(2*n,2*n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            B.mat[i][j]=A.mat[i][j];
        }
        B.mat[n+i][i]=B.mat[n+i][n+i]=1;
    }
    B=B.pow(k+1);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            ll a=B.mat[n+i][j]%Mod;
            if(i==j) a=(a+Mod-1)%Mod;
            printf("%lld%c",a,j+1==n?'\n':' ');
        }
    }
    return 0;
}

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