(模板)最大公约数/最大公约数（数论基础）

求两个数的最大公约数，有几种方法。枚举、差和判定法、辗转相除法（也叫欧几里德算法 Euclid algorithm）。

要求： 求a、b的最大公约数 

（最大公约数，也称最大因数、最大公因子，指两个数共有约数中最大的一个）

枚举（为初学者服务，有一定了解可以直接跳过）：

       假设a>b  ,设a、b的最约数为x,  显然a,b都能整数x.   即满足a%x==0,b%x==0   

 那么求最大如何求呢？ 枚举从a>=k>=1 想想什么？如果满足 a%k==0,b%k==0  此时k就是解。 

差和判定法：

      第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
      第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
     则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
     其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

（前两种算法只是普及一下）

辗转相除法（也叫欧几里德算法 Euclid algorithm）（主要介绍）：

        通过前面的普及，相信大家都明白最大公约数是怎么一回事了吧，现在我们要做的事，寻求一个高效率的方法。

        直接给出模板，然后慢慢体会。这是一个递归算法。

       

<span style="font-size:24px;">int gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}</span>

      聪明的同学可能会问，既然是递归，那么免不了问一句，会栈溢出吗？  答案不会。

      可以证明：gcd的递归层数不超过4.785lgN+1.6723 （N=max(a，b)）

      搞明白了最大公约数，最小公倍数相当轻松了。lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)，想了解更详细的读者可自行查阅资料，这涉及到数学知识了。

<span style="font-size:24px;">int lcm(int a,int b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;  //不要写成a*b/gcd(a,b);  	                      
}	// 因为a*b容易溢出  先做除再乘，有时可以避开这一点 </span>

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