51nod 1450 闯关游戏期望dp

最新推荐文章于 2022-05-03 09:24:44 发布

原创最新推荐文章于 2022-05-03 09:24:44 发布 · 381 阅读

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本文介绍了一款由多个小游戏组成的游戏App通关时间期望值的计算方法。通过将小游戏按获得两颗星的概率排序，并利用概率论计算玩家达到特定星星数量所需的平均时间。

题意

一个游戏App由N个小游戏（关卡）构成，将其标记为0,1,2，..N-1。这些小游戏没有相互制约的性质，玩家可以任意时刻玩任意一个小游戏，且每个小游戏可以玩任意多次，一个小游戏玩一次消耗玩家恰好1min的时间。每个小游戏会根据玩家的表现返回3种结果：1）挑战失败；2）挑战成功并获得1颗星；3）挑战成功且获得2颗星。玩家可以多次挑战同一个小游戏，而且系统会记录玩家多次挑战中的最好成绩。（注意：两颗星优于一颗星优于挑战失败。）
这个游戏App通关需要同时满足2个条件：1）N个小游戏的系统记录的最好成绩都是成功；2）这N个小游戏的系统记录成绩中的星星总数至少是M颗。
根据一些统计，一个玩家在任一次玩第i个小游戏时，都会独立的发生以下结果：
* 有（1000 - X[i] - Y[i]）*0.001的概率会挑战失败；
* 有 X[i]*0.001 的概率会挑战成功并获得一颗星；
* 有 Y[i]*0.001 的概率会挑战成功并获得两颗星.
其中1<=X[i],Y[i],且X[i]+Y[i]<=1000,且都为整数.
问一个玩家从安装完这个游戏App到这个游戏App通关，最优策略下需要花费时间的期望E。输出E的值，以min为该时间单位。（误差在1e-7内）
1<=N<=2000，N <= M <= 2N

分析

发现自己期望方面菜的抠脚。。。搞了一天才略微搞懂这道题目。

显然是把所有人按照Y从小到大排序，当做到一个位置i，满足剩下的游戏全都要两星才能通关时，就需要不停地做这些游戏直到两星。
设f[i,j]表示前i个游戏抽到j颗星的概率，转移十分显然。
然后直接统计答案即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=2005;

int n,m;
pair<int,int> a[N];
double f[N][N*2],s1[N],s2[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[i]=make_pair(y,x);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        double x=(double)a[i].second/1000,y=(double)a[i].first/1000;
        double p1=1/(x+y),p2=1/y;
        s1[i]=s1[i-1]+p1;s2[i]=s2[i-1]+p2;
    }
    if (n*2<=m) 
    {
        printf("%.10lf\n",s2[n]);
        return 0;
    }
    f[0][0]=1;
    double ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        double x=(double)a[i].second/1000,y=(double)a[i].first/1000;
        double p1=x/(x+y),p2=1-p1,p=s1[i]+s2[n]-s2[i];
        for (int j=i;j<=n*2;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j-1]*p1;
            if (j>1) f[i][j]+=f[i-1][j-2]*p2;
            if ((n-i)*2==m-j) ans+=p*f[i][j];
            if ((n-i)*2<=m-j) f[i][j]=0;
        }
    }
    for (int i=m+1;i<=n*2;i++) ans+=s1[n]*f[n][i];
    printf("%.10lf",ans);
    return 0;
}