深度神经网络（Deep Neural Network）

1. 矩阵的维度

DNN结构示意图如图所示：

对于第l层神经网络，单个样本其各个参数的矩阵维度为：

W[l]：(n[l],n[l−1])

b[l]：(n[l],1)

dW[l]：(n[l],n[l−1])

db[l]：(n[l],1)

Z[l]：(n[l],1)

A[l]=Z[l]：(n[l],1)

2. 为什么使用深层表示

人脸识别和语音识别：

对于人脸识别，神经网络的第一层从原始图片中提取人脸的轮廓和边缘，每个神经元学习到不同边缘的信息；网络的第二层将第一层学得的边缘信息组合起来，形成人脸的一些局部的特征，例如眼睛、嘴巴等；后面的几层逐步将上一层的特征组合起来，形成人脸的模样。随着神经网络层数的增加，特征也从原来的边缘逐步扩展为人脸的整体，由整体到局部，由简单到复杂。层数越多，那么模型学习的效果也就越精确。

对于语音识别，第一层神经网络可以学习到语言发音的一些音调，后面更深层次的网络可以检测到基本的音素，再到单词信息，逐渐加深可以学到短语、句子。

所以从上面的两个例子可以看出随着神经网络的深度加深，模型能学习到更加复杂的问题，功能也更加强大。

电路逻辑计算：

假定计算异或逻辑输出：

y=x1⊕x2⊕x3⊕⋯⊕xn

对于该运算，若果使用深度神经网络，每层将前一层的相邻的两单元进行异或，最后到一个输出，此时整个网络的层数为一个树形的形状，网络的深度为O(log2(n))，共使用的神经元的个数为：

1+2+⋅+2log2(n)−1=1⋅1−2log2(n)1−2=2log2(n)−1=n−1

即输入个数为n，输出个数为n-1。

但是如果不适用深层网络，仅仅使用单隐层的网络（如右图所示），需要的神经元个数为2n−1个 。同样的问题，但是深层网络要比浅层网络所需要的神经元个数要少得多。

3. 前向和反向传播

首先给定DNN的一些参数：

L：DNN的总层数；

n[l]：表示第l层的包含的单元个数；

a[l]：表示第l层激活函数的输出；

W[l]：表示第l层的权重；

输入x记为a[0]，输出ŷ 记为a[L]。

前向传播（Forward propagation）

Input：a[l−1]

Output：a[l]，cache(z[l])

公式：

z[l]=W[l]⋅a[l−1]+b[l]a[l]=g[l](z[l])

向量化程序：

Z[l]=W[l]⋅A[l−1]+b[l]A[l]=g[l](Z[l])

反向传播（Backward propagation）

Input：da[l]

Output：da[l−1]，dW[l]，db[l]

公式：

dz[l]=da[l]∗g[l]′(z[l])dW[l]=dz[l]⋅a[l−1]db[l]=dz[l]da[l−1]=W[l]T⋅dz[l]

将da[l−1]代入dz[l]，有：

dz[l]=W[l+1]T⋅dz[l+1]∗g[l]′(z[l])

向量化程序：

dZ[l]=dA[l]∗g[l]′(Z[l])dW[l]=1mdZ[l]⋅A[l−1]db[l]=1mnp.sum(dZ[l],axis=1,keepdims=True)dA[l−1]=W[l]T⋅dZ[l]

4. 参数和超参数

参数：

参数即是我们在过程中想要模型学习到的信息，W[l]，b[l]。

超参数：

超参数即为控制参数的输出值的一些网络信息，也就是超参数的改变会导致最终得到的参数W[l]，b[l]的改变。

举例：

学习速率：α

迭代次数：N

隐藏层的层数：L

每一层的神经元个数：n[1]，n[2],⋯

激活函数g(z)的选择