同余取模。。

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#欧拉 #费马小定理 #威尔逊 #基本性质

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本文深入探讨了同模取余的基本性质、费马小定理、除法逆元和威尔逊定理，详细解释了如何应用这些原理解决实际问题。

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同模取余

基本性质

$a \equiv b \pmod n;$
$a + k * b = n;$
$n|{a-b};$

$a \equiv b \pmod n;\quad d | n;$
$a \equiv b \pmod d;$

$a \equiv b \pmod n;\quad d|(a, b, n)$
$\displaystyle{a \over d} \equiv {b \over d} \pmod {{n \over d}};$

$a \equiv b \pmod n;$
$(c, n) = 1;$
${a * c} \equiv {b * c} \pmod n;$

$a_1 \equiv b_1 \pmod n;\quad a_2 \equiv b_2 \pmod n;$
$a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod n;$
$a_1 * a_2 \equiv b_1 * b_2 \pmod n;$

$a \equiv b \pmod p;$ $a \equiv b \pmod q;\quad(p, q为不同素数)$
$a \equiv b\pmod {p * q};$

费马小定理

$a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p; \quad\left(p为素数, (a, p) = 1\right);$

证明

$P = \lbrace 1, 2, 3, \ldots, p - 1 \rbrace;$
$(a, p) = 1;$
$A = \lbrace a, 2 * a, 3 * a, \ldots, (p - 1) * a\rbrace;$
$(p - 1)\! \equiv {a * 2a * 3a * (p-1)a} \pmod p;$
$(p - 1)\! \equiv {a^{p-1} * (p-1)\!} \pmod p;$
$\because \displaystyle\left((p - 1)\!, p\right) = 1;$
$\therefore a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p;$

除法逆元

$\displaystyle{a \over b} \equiv a * b^{p - 2} \pmod p; \quad\left(p为素数, (b, p) = 1\right);$
$B * b \equiv 1 \pmod p;$
$\because a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p, \quad\left(p为素数, (a, p) = 1\right);$
$\therefore B = b^{p - 2};$

威尔逊定理

$(p - 1)\! \equiv -1 \pmod p, \quad(p为素数);$

证明

若 $p = 2;$ 显然成立;

若 $p \gt 2;$
对于所有的整数 $1 \le a \le (p - 1),$ 存在 $1 \le a_1 \le (p - 1),$ 使
得:
$a * a_1 \equiv 1 \pmod p;$
当 $a = a_1;$
即 $a^2 \equiv 1 \pmod p;$
$a = 1$ 或 $a = p - 1;$
即:

1 * 2 * \dots * (p - 2) * (p - 1) \equiv 1 * (p - 1) \prod a a * a 1 \equiv 1 * (p - 1) \equiv - 1 (mod p);

$\begin{align} {1 * 2 *\ldots*(p - 2) * (p - 1)} & \equiv {1 * (p - 1) \displaystyle\prod_a {a * a_1}}\\ & \equiv {1 * (p - 1)}\\ & \equiv {-1} \pmod p; \end{align}$

欧拉函数

$m$ 是一个正整数, $1, 2, \ldots m - 1, m$ 中与 $m$ 互素的个数,记做 $\varphi(m);$ $1$ 与任何数互素;

$\varphi(p) = p - 1; \quad(p为素数);$
若 $m = p^{\alpha}, \quad\varphi(m) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1};$
$\varphi(m) = m\displaystyle\prod_{p|m}{(1 - {1 \over p})};$

性质

$\varphi(p * q) = \varphi(p) * \varphi(q); \quad\left((p, q) = 1\right)$
$\varphi(2 * q) = \varphi(q); \quad(q为素数);$
小于n与n互素的正整数的和:
$\displaystyle sum = {{n * \varphi(n)} \over 2};$

直接求欧拉值\打标

int get_Euler(int n)   //直接求值 euler(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2)*...*;
{
    int tmp = n, ans = n;

    for (int i = 2; i * i <= tmp; i++)
    {
        if (tmp % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);

            while (tmp % i == 0)
            {
                tmp /= i;
            }
        }
    }

    if (tmp > 1)
    {
        ans = ans / tmp * (tmp - 1);
    }

    return ans;
}


int euler[N];

void init_Euler()    //打表
{
    euler[1] = 1;

    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
        euler[i] = i;
    }

    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
        if (euler[i] == i)
        {
            for (int j = i; j < N; j += i)
            {
                euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}