「取余」与「取模」以及「同余定理」

记 LeetCode 的一道题目：974. 和可被 K 整除的子数组

因为之前做过类似的题目 560. 和为K的子数组 ，所以想到用 「前缀和 」解决， 这个题解的主要目的是对 「取余」与「取模」进行记录，所以 前缀和 的用法就先不写了

取余 取模 同余定理

• 首先要了解取余和取模，他们的结果可能是不同的；
  计算方法相同：
  对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
  1.求 整数商： c = a / b;（它的正负导致结果的不同）
  2.计算模或者余数： r = a - c * b

对取余和取模定义不同的语言中，两者的不同点只有一个
①取余运算在计算商值向0方向舍弃小数位
②取模运算在计算商值向负无穷方向舍弃小数位

举例：-7 Mod 4
取余：c = - 7 / 4 = - 1，r = - 7 - (- 1) * 4 = -3;
取模：c = - 7 / 4 = - 2，r = - 7 - ( - 2) * 4 = 1;

当 a 和 b 的正负号一样的时候，两个函数结果是等同的；当 a 和 b的符号不同时，取余 函数结果的符号和 a 的一样，而 取模 和 b 一样。
在 C/C++,，C#,，JAVA，PHP中，% 运算符是取余的，而在python中的 % 是取模。

• 同余定理

同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数 m，如果两个整数 a 和 b 满足 a - b 能够被 m 整除，即 (a - b) / m 得到一个整数，那么就称整数 a 与 b 对 % m 同余，记作 a ≡ b(mod m)。对模 m 同余是整数的一个等价关系。

题目

给定一个整数数组 A，返回其中元素之和可被 K 整除的（连续、非空）子数组的数目。

示例：
输入：A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 K = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

提示：
1 <= A.length <= 30000
-10000 <= A[i] <= 10000
2 <= K <= 10000

根据题目要求，考虑用前缀和解决，并且有同余定理可得， 只需要 a % K == b % K ，可用数组或哈希表储存，记录余数相同的个数， 其中考虑有负数的存在，会影响取余的结果， 则将其转化为正数再取余，(a % K + K) % K

代码

class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {
        //同余定理, 前缀和
        HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        map.put(0, 1);//针对sum恰好满足条件，则取余为0的情况
        int sum = 0, res = 0;
        for(int num : A){
            sum += num;
            int tmp = (sum % K + K) % K;//把负数转为正数
            if(map.containsKey(tmp)){
                res += map.get(tmp);
            }
            map.put(tmp, map.getOrDefault(tmp, 0) + 1);
        }
        return res;
    }
}