HDU 4497(素数分解+排列组合)

本文解析了HDU4497题目,该题要求计算满足特定条件的三元组(x, y, z)的数量。通过分解最大公约数G与最小公倍数L,利用数论技巧得出解的数目。

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hdu 4497
题目大意:
已知 gcd(x,y,z)=G,lcm(x,y,z)=L ;求这样的x, y, z有几种,其中 (1,2,3)(3,2,1) 算两种;
思路:
因式分解
G=ap11ap22...apkk ;
L=aq11aq22...aqss (qi>pi)
L%G!=0,ans=0 ;
m=L/G=br11br22...brtt ;
X=x/G=bn11bn22...bntt ;
同理:  Y=i=1tbmii , Z=i=1tboii ,
min(ni,mi,oi)=0 , max(ni,mi,oi)=ri ,且 X,Y,Z 中对因子 bi ,必定为 (0,ri,0ri) ,即一个一定为 0 个,一个为ri个,一个为 0ri 个;
(0,0,ri)   3种;
(0,ri,ri)   3种;
(0,ri,1ri1)   6种;
即每个因子共有 6ri 种排列;

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200005

using namespace std;

bool not_prime[N];
int prim[N];

void init()
{
    memset(not_prime, 0, sizeof(not_prime));

    prim[1] = 0;
    int cnt = 0;

    for(int i = 2; i < N; i++) 
    {  
        if(!not_prime[i]) 
        {   
            prim[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j < N; j += i)
            {  
                not_prime[j] = 1;  
            }  
        }  
    }  
}

void get(int m)
{
    int ans = 1;

    for (int i = 0; prim[i] * prim[i] <= m; i++)
    {
        if (m % prim[i] == 0)
        {
            int cnt = 0;

            while (m % prim[i] == 0)
            {
                cnt++;
                m /= prim[i];
            }

             ans *= 6 * cnt;
        }
    }

    if (m > 1)
    {
        ans *= 6;
    }

    printf("%d\n", ans);
}

int main()
{
    init();

    int T;
    scanf("%d", &T);

    while (T--)
    {
        int gcd, lcm;
        scanf("%d%d", &gcd, &lcm);

        if (lcm % gcd != 0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }

        int m = lcm / gcd;
        get(m);
    }

    return 0;
}
### HDU OJ 排列组合问题解法 排列组合问题是算法竞赛中的常见题型之一,涉及数学基础以及高效的实现技巧。以下是关于如何解决此类问题的一些通用方法和具体实例。 #### 数学基础知识 在处理排列组合问题时,需要熟悉以下几个基本概念: - **阶乘计算**:用于求解全排列的数量 $ n! = n \times (n-1) \times ... \times 1 $[^4]。 - **组合数公式**:$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 表示从 $ n $ 中选取 $ k $ 的方案数[^5]。 - **快速幂运算**:当涉及到模运算时,可以利用费马小定理优化逆元的计算[^6]。 #### 题目推荐与分析 以下是一些典型的 HDU OJ 上的排列组合题目及其可能的解法: ##### 1. 基础排列组合计数 - **HDU 2039 近似数** - 描述:给定两个整数 $ a $ 和 $ b $,统计区间内的近似数数量。 - 方法:通过枚举每一位上的可能性来构建合法数字并计数[^7]。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long comb(int n, int r){ if(r > n || r < 0)return 0; long long res=1; for(int i=1;i<=r;i++)res=res*(n-i+1)/i; return res; } int main(){ int t,n,k; cin>>t; while(t--){ cin>>n>>k; cout<<comb(n+k-1,k)<<endl; // 组合数应用 } } ``` ##### 2. 动态规划的应用 - **HDU 1028 Ignatius and the Princess III** - 描述:给出正整数 $ m $ 和 $ n $,问有多少种方式把 $ m $ 分成最多 $ n $ 份。 - 方法:定义状态转移方程 $ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i] $ 来表示当前总和为 $ j $ 并分成至多 $ i $ 份的情况数目[^8]。 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e3+5; long long c[MAXN][MAXN]; void init(){ memset(c,0,sizeof(c)); c[0][0]=1; for(int i=1;i<MAXN;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%(1e9+7); } } int main(){ init(); int T,m,n; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&m,&n); printf("%lld\n",c[m+n-1][min(m,n)]); } } ``` #### 总结 针对不同类型的排列组合问题,可以选择合适的工具和技术加以应对。无论是简单的直接计算还是复杂的动态规划模型,都需要扎实的基础知识作为支撑。
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