整理总结：深入浅出统计学——总体和样本的估计

参考资料：电子工业出版社的《深入浅出统计学》

前言

利用样本准确地预测总体，并以一定方式说明预测结果的可靠程度，通过样本了解总体，并学习如何反过来通过总体了解样本。

具体内容

一、总体均值的估计

通过上图可以看出，一个好的样本的均值总是和总体的均值大致相当，因此我们可以用样本的均值$\overline{X}$来表示总体均值的点估计量。

二、总体方差的估计

如上图所示，样本的方差一般要比总体的方差小一些，因此我们需要修改样本数据的方差公式来估计总体方差。

值得注意的是，在拥有总体所有数据来求总体方差确切值时，我们用的公式为如下

三、比例的抽样分布

1、比例分布的期望和方差

如果我们已知在总体中红色球占25%，将总体分隔成许多容量为100颗的盒，求一盒糖球中红色球有40颗及以上的概率。【利用总体求样本】
一盒容量为100颗，这说明样本大小n为100，用随机变量X代表样本中的红色糖球的数目，则X~B(n,p)，其中n=100，p=0.25。设样本中的红色糖球比例$P_s$为一个随机变量，且$P_s=X/n$。
那么我们此时便得到了比例的概率分布。此时通过推导得到其对应的期望和方差。

2、比例分布的概率计算

此时我们已经得到比例分布的期望和方差值，那么如何根据这些来计算比例的概率呢。
我们发现当n很大时——n>30，$P_s$比例分布近似正态分布，即$P_s\backsim N(p,\frac{pq}{n})$。
但需要注意的是，由于总体是离散型的二项分布，因此在用正态分布近似计算时需要连续性修正。

四、均值的抽样分布

1、均值分布的期望和方差

如果所有糖球盒总体的均值为10，方差为1，即每一盒糖球数目大致为9~11之间，那么一个样本（30个糖球盒）中，其每盒糖球平均数目小于等于8.5的概率是多少。
我们已知盒装糖球的总体的均值和方差，令一个包装盒的糖球数量用X表示，随机选择的每一盒糖球都是X的一个独立观察结果，因此每一袋糖球都符合相同的分布，即如果用$X_i$代表随机选择的一袋糖球的糖球数量，则每个$X_i$的期望都是$\mu$，方差都是${\delta }^2$，其中1<=i<=30。那么此时，我们可以用$ \overline X$表示这n袋糖球的容量均值。

2、均值分布的概率计算

同比例分布一样，当n足够大时，我们可以用正态分布来近似代替均值分布，从而计算出其概率。

五、中心极限定理

中心极限定理的应用：