求满足条件的长度为N的字符串的个数（斐波那契数列）

今天做到了一道题目，初看时愣了一下，回过头在做的时候忽然发现其实是斐波那契数列。

原题大概是这样的：

条件1：字符串只包含‘0’或 ‘1’；
条件2：字符串只能以‘1’开始；
条件3：字符串不能够包含‘00’的组合；
问：长度为N的字符串的合法的组合到底有几种可能性？

解：

这里先记录一下自己的思考过程：
字符串起始只能是‘1’，所以实际上就是问（长度为N-1的字符串全部的组合数-包含‘00’的组合数）的大小；
考虑‘00’组合的个数进行组合，感觉之后处理会比较麻烦，就断了这个想法。

我们先写出长度为N的字符串的可能的组合数量：

len = 1(1)
output: 1

len = 2(10, 11)
output: 2

len = 3(101, 110, 111)
output: 3

len = 4(1010, 1011, 1101, 1110, 1111)
output: 5

其实写到这里，我们大致已经发现了规律：F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)

证明：
假设，长度为N所有合法的字符串中，末尾为‘0’的字符串的个数为x，末尾为‘1’的字符串的个数为y；
F(N) = x + y;

则，此时长度为N + 1的所有合法的字符串中，末尾为‘0’的字符串只能从长度为N的末尾为‘1’的字符串变化而来才是合法的，所以长度为N + 1的合法字符串中末尾为‘0’的字符串的个数为y；末尾为1的字符串个数为x + y；
F(N + 1) = x + 2 * y;

此时长度为N + 2的所有合法的字符串中，末尾为‘0’的字符串只能从长度为N + 1的末尾为‘1’的字符串变化而来才是合法的，所以长度为N + 2的合法字符串中末尾为‘0’的字符串的个数为 x + y；末尾为1的字符串个数为x + 2 * y；
F(N + 2) = 2 * x + 3 * y;

在数值上可以得到：F(N + 2) = F(N + 1) + F(N)

证毕。