矩阵运算——平移，旋转，缩放

虹软笔试的时候又遇到了一个图像旋转的问题。特此记

下面是3类基本的2D图形变换。

1.平移

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。
则

$$X = x+dx; Y = y+dy;$$

以矩阵表示

$$[X,Y,1]=[x,y,1] \begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\ 0&1 &0 \\dx&dy&1 \end{bmatrix}$$

平移变换矩阵

$$\begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\ 0&1 &0 \\dx&dy&1 \end{bmatrix}$$

2.旋转

旋转相比平移稍稍复杂：
设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度 , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

$$x = Rcos(b) ; y = Rsin(b);\\ X = Rcos(a+b) = Rcosacosb - Rsinasinb = xcosa - ysina; (合角公式)\\ Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa ;$$

以矩阵表示：

$$[X,Y,1]=[x,y,1] \begin{bmatrix} cosa & sina &0 \\ -sina & cosa&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$$

旋转变换矩阵

$$\begin{bmatrix} cosa & sina &0 \\ -sina & cosa&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$$

3.缩放

设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

$$X = sx*x; Y = sy*y;$$

以矩阵表示：

$$[X,Y,1]=[x,y,1] \begin{bmatrix} sx & 0 &0 \\ 0 & sy&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$$

缩放矩阵

$$\begin{bmatrix} sx & 0 &0 \\ 0 & sy&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$$

最终变换矩阵

2D基本的模型视图变换，就只有上面这3种，所有的复杂2D模型视图变换，都可以分解成上述3个。
比如某个变换，先经过平移，对应平移矩阵A， 再旋转, 对应旋转矩阵B，再经过缩放，对应缩放矩阵C.
则最终变换矩阵 T = ABC. 即3个矩阵按变换先后顺序依次相乘(矩阵乘法不满足交换律，因此先后顺序一定要讲究)。

转载博客：http://blog.youkuaiyun.com/leaf6094189/article/details/18554549