随手写写

【证】（1）推出（2）显然，（2）推出（3），任取。（线性空间分解成有限多个子空间的直和）线性无关的集合的任意一个有限子集都是线性无关的。由（2）可知（零向量表法唯一）,根据定理3中（4）和（1）等价，（如果它有两种表示，反证法）中有限个向量线性表出，同理，里面的每一个向量都可以表示成。的一个基（每一个向量都可以由。个向量线性表出，相当于满秩）中有限个向量线性表出，于是。（3）推出（1），任取。这4个命题是等价的。（2）推出（4）任取。（4）推出（2），设。中零向量的表法唯一。的有限维的子空间，则。

课程视频剪辑得太抽象了，一节课不能完整学完，拆的零零散散得。3. 线性空间3.19 满秩矩阵【推论4】设rank(A)=r\text{rank}(\boldsymbol{A})=rrank(A)=r，则A\boldsymbol{A}A的不为0的rrr阶子式所在的列（行）是A\boldsymbol{A}A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。【证】这个rrr阶子式的列向量组线性无关。从而它们的延伸组αj1,..αjr\boldsymbol\alpha_{j_1},..\boldsymbol\alph

3. 线性空间3.17 向量组的秩【定义5】设V\textbf{V}V是数域K\textbf{K}K上的线性空间，V\textbf{V}V的一个子集S\textbf{S}S如果满足两个条件：（1）S\textbf{S}S是线性无关；（2）对于β∉S\boldsymbol\beta\not\in\textbf{S}β∈S（若有的话），有S∪{β}\textbf{S}\cup\{\boldsymbol\beta\}S∪{β}线性相关，那么称S\textbf{S}S是V\textbf{V}V的一个极大

3. 线性空间3.12 向量组的秩的应用【命题3】向量组α1,...,αs\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}α1​,...,αs​线性无关⇔rank{α1,...,αs}=s\Leftrightarrow \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}=s⇔rank{α1​,...,αs​}=s【证】向量组α1,...,αs\boldsymbol{

3. 线性空间主线任务：研究线性空间和它的子空间的结构研究平面π\piπ上向量共线与不共线的问题：c⃗\vec{c}c与a⃗≠0\vec{a}\ne\boldsymbol{0}a=0共线c⃗=λa⃗⇔λ∈R⇔−λa⃗+1c⃗=0⃗\vec{c}=\lambda\vec{a}\Leftrightarrow\lambda\in\mathbb{R}\Leftrightarrow-\lambda\vec{a}+1\vec{c}=\vec{0}c=λa⇔λ∈R⇔−λa+1c=0；a⃗\vec{a}a与c⃗≠

若对应法则。

2. N阶行列式2.12 行列式按k行（列）展开【拉普拉斯定理】nnn阶矩阵A=(aij)\boldsymbol{A}=(a_{ij})A=(aij​)，取定第i1,i2,...,iki_{1},i_{2},...,i_{k}i1​,i2​,...,ik​行（其中i1<i2<...<iki_{1}<i_{2}<...<i_{k}i1​<i2​<...<ik​），则∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣等于这kkk行形成的所有kkk阶子式与它自己

2. N阶行列式2.6代数余子式3阶行列式：a11(a22a33−a23a32)+a12(a23a31−a21a33)+a13(a21a32−a22a31)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)=a11∣a22a12a21a33∣−a12∣a21a23a31a33∣+a13∣a21a22a31a32∣a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{3

2. N阶行列式数域K\textbf{K}K上的二元方程组{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2} \end{array}\right.{a11​x1​+a12​x2​=b1​a21​x1​+a22​x2​=b2​​写其系数矩阵：(a11a12a21a22)\begin{pmatrix} a_{11} &amp

齐次线性方程组一定有解，所以齐次线性方程组有唯一解就一定是零解，有非零解就一定是有无穷多个解。由于这个视频课的分p十分抽象，我还是把一节完整的课学完再发表笔记吧，要不然太零碎了。取定任意一组数，就能确定主变量，这些自由未知量能确定无穷多组数，所以此时原方程组有。把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形，相应的阶梯形方程组如果出现“列（不出现常数项那列单独有非0元素，其他列都是0的行），因此。系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行的数目。（主变量以外的未知量），可以取任意的数，

由于初等变换后的方程组与原来方程组是同解的，从而原方程组。所以阶梯形方程组有无穷多个解，从而原方程组有。（2）增广矩阵消元法（方便计算机计算）；上一篇文字中最后得到的线性方程组的解是。表示方程组的解，将解用有序数组来表示。【例2】在有理数集内解线性方程组。可以取无穷多个有理数。

的系数变成0，那就把第一个方程的-3倍加到第2个方程，把第一个方程的1倍加到第三个方程，把第一个方程的-2倍加到第四个方程。这种形式的方程组能够很方便解出来，这个方程组像台阶一样，称为。此时主元都是1，主元所在列的其余元素都是0，称这样的矩阵为。的系数，要把3也变成0，则第二行的-3倍加到第一行。的系数为1，把第四个方程和第二个方程调换一下位置。的系数是1，比较好算，然后把第二个方程的。【解】将第一个方程做基础，因为它的。第二个方程+第一个方程×(-3)即。然后观察到第四个方程的。，相应的增广矩阵称为。

所有一元多项式组成的集合称为。

初中学一元一次方程，一元二次方程…，求一元高次方程是经典代数学研究的对象。多元一次方程组，考虑一个三元一次方程组，用不同的下标表示不同的未知量。，通常用大写字母表示矩阵，比如将上面这个系数排成的标视为矩阵。元线性方程组为了消去系数，我们可以只把系数写出来，比如解。的第一个下标是指第几个方程，第二个下标是指第几个系数。所以高等代数的研究对象的出发点就是研究。二元一次方程代表平面上的直线。听的是丘维声老师的高等代数。