二分图性质



定义：

1.最大独立点集：在二分图中，求最少的点集，使得任意两个点之间没有直接边连接。

2.最小路径覆盖：

        ①在有向无环图中，求最少的路径，使他们覆盖所有的点，且每一个点只被一条路径覆盖。

        ②在有向无环图中，求最少的不相交的路径，使他们覆盖所有的点。

        *最小路径覆盖数通俗点说就是给一个图，求最少要走几次才能把所有节点都遍历一次且仅一次。（并不要求把每条边都走完）

3.最小可重复路径覆盖：在有向无环图中，求最少的路径，使得他们覆盖所有的点，且每个点可以被多条路径覆盖。

4.最小边覆盖：在二分图中，求最少的边，使得他们覆盖所有的点，并且每一个点只被一条边覆盖。（实在不行可以把一个点看成一条边）

5.最小点覆盖：在二分图中，求最少的点集，使得每一条边至少都有端点在这个点集中。

6.Dilworth 定理：

偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:

自反性：a≤a;
反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;
传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。

        ①链：一个图中的一条路径，或：一个集合使得任意两个元素都可比较。

        ②反链：一个图中的一个点集使得任意两个点之间都没有路径相连，或：一个集合使得任意两个元素都不可比较

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运算关系：

最大独立集 = 最小边覆盖 = N - 最大匹配 （条件：在二分图中） 

DAG最小路径覆盖 = N - 最大匹配 （条件:将DAG转化为二分图）

最小点覆盖 = 最大匹配 （条件：在二分图中）                                       Konig定理

反链 = 图的最小划分链数 = 最小可重复路径覆盖 （条件：在DAG中）     Dilworth定理

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求Dilworth定理中的数：Floyd传递闭包求出DAG中的每一对点之间的连接情况，然后求最小不可重复路径覆盖。

 

求最小路径覆盖：将每一个点拆成Xi和Yi，如果有点Ai->Bi，那么连边XA->YB。求最大匹配。

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DAG的最小路径覆盖是指找最小数目的互相不相交的有向路径,满足DAG的所有顶点都被覆盖.

首先给出公式:DAG的最小路径覆盖数=DAG图中的节点数-相应二分图中的最大匹配数.

那么对应一个DAG,如何构造相应的二分图?对于DAG中的一个顶点p,二分图中有两个顶点p和p',对应DAG中的一条有向边p->q,二分图中有p-q'的一条无向边.二分图中p属于S集合,p'属于T集合.

下面我们来解释上面公式为什么成立,思路参考baihacker神牛:

上图中,对应左边的DAG建立构造右边的二分图,可以找到二分图的一个最大匹配M:1-3',3-4',那么M中的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边?

使二分图中一条边对应DAG中的一条有向边,1-3'对应DAG图中的有向边1->3,这样DAG中1就会有一个后继顶点(3会是1的唯一后继,因为二分图中一个顶点至多关联一条边!),所以1不会成为DAG中一条路径中的结尾顶点,同样,3-4'对应DAG中3->4,3也不会成为结尾顶点,那么原图中总共4个顶点,减去2个有后继的顶点,就剩下没有后继的顶点,即DAG路径的结尾顶点,而每个结尾顶点正好对应DAG中的一条路径,二分图中寻找最大匹配M,就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目,那么DAG中顶点数-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目,即DAG的最小路径覆盖数.