LeetCode Medium 96 BST树的个数 Python

 

def numTrees(self, n):
    """
    Solution Method
    算法：动规
    思路：
        非常巧妙！
            首先一定要找到下手点，BST是有有序数组的二叉搜索构建而来的，即某个节点的左节点都比他小，右节点都比他大，利用
        这个特点去解题。还原本质，找到状态转移方程
            首先看一个数组
            [1,2,3,4,5,6]
            如果以3作为root，那么就可以分割为[1,2,] 3 [4,5,6],这样的话以3为root的BST的个数，就是左侧[1,2]的BST的个数
        乘上右侧[4,5,6]的BST的个数，即这个长度为6的数组dp[6]= SUM(F(i)),i从1到6，F(i) = m * n,m是左侧BST的个数，n是
        右侧BST的个数,即F(i) = F(i-1) * F(n-i)
            但是要注意到！构建BST的这个过程，事实上是和具体的值无关的，即[3,4,5],[101,102,103]这样的数，所能构建出的BST
        的个数是一样的！即只取决于有序列表的长度，而不取决于具体的列表内的内容。
            所以可以将F(i) = F(i-1) * F(n-i) 转化为dp[i-1]*dp[n-i]
            如此一来dp[n] = sum(dp[i-1]*dp[n-i]),i from 1...n
            边界条件的话，dp[0] = 1，空树，1个
            dp[1] = 1，就一个数字，就一个树
    """
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0], dp[1] = 1, 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]
    return dp[-1]