求从1到n构成的BST的个数

最新推荐文章于 2025-05-30 20:23:36 发布

YtiniFni

最新推荐文章于 2025-05-30 20:23:36 发布

阅读量881

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： LeetCode 文章标签： leetcode

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/YtiniFni/article/details/51089556

LeetCode 专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

博客介绍了LeetCode 96题的解法，探讨了如何计算从1到n能构成的不同二叉搜索树（BST）的数量。通过分析以k为根节点的BST数量，得出递推公式F(n) = ∑k=0^n [F(k) * F(n-k)]来解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求从1到n构成的BST的个数

题目

LeetCode 96. Unique Binary Search Trees
求从 $1$ 到 $n$ 构成所有BST的个数，比如，当 $n=3$ 时，共有 $5$ 个BST
这里写图片描述

题解

考虑对于以数 $k$ 为根节点的BST，比 $k$ 小的数在左子树上，比 $k$ 大的数在右子树上，那么以数 $k$ 为根节点的BST的个数为 $[0, k-1]$ 组成的BST的个数 $m$ 与 $[k+1, n]$ 组成的BST的个数 $n$ 的乘积 $m*n$ .
令 $F(n)$ 为从 $1$ 到 $n$ 构成所有BST的个数，则 $[0, k-1]$ 组成的BST的个数为 $F(k)$ ， $[k+1, n]$ 组成的BST的个数为 $F(n-k)$ ，所以
$F(n) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}[F(k)*F(n-k)]$

代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> DP(n+1, 1);
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            DP[i] = 0;
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                DP[i] += DP[j-1]*DP[i-j];
            }
        }
        return DP[n];
    }
};