位运算

位运算

1.按位与(and &)

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。
00101
11100（&；或者and）
----------------
00100

按位与运算通常用于二进制的取位操作，例如(x & 1)的结果就是取x二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

2.按位或(or |)

相同位只要一个为1即为1。
00101
11100（|或者or）
----------------
11101

按位或运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如(x | 1)的结果就是把x二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

3.按位异或(xor ^)

定义:两个输出位相同输出0,不相同输出1。
00101
11100（^或者xor）
----------------
11001

按位异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a ^ b) ^ b = a。按位异或运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。(1314520 ^ 19880516) = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算(20665500 ^ 19880516)的值，得到1314520。

一个不需要临时变量的替换赋值
x = x # y
y = x @ y
x = x @ y
#和@互为逆运算，如:+、-。执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y = x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为（x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的互换过程。如下Java程序
int x = 1;
int y = 2;
x = x + y;
y = x - y;
x = x - y;
System.out.println(“x=” + x); // x=2
System.out.println(“y=” + y); // y=1
由于xor的逆运算是它本身，于是就有了:
int x = 1;
int y = 2;
x = x ^ y;
y = x ^ y;
x = x ^ y;
System.out.println(“x=” + x); // x=2
System.out.println(“y=” + y); // y=1

4.按位取反(not ~)

按位取反运算的定义是把内存中的0和1全部取反.
使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号(Java中没有无符号的整数)。如果按位取反的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差。
稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了00的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。也就是说，not a实际上等于-a-1（或-a=not a+1）。这种整数储存方式叫做“补码”（正数的补码和原码相同，负数的补码是该数的绝对值的二进制形式，按位取反后再加1）（Java中没有无符号的整数。在计算机中运算是按补码处理的）。

5.左移位(shl << )

按照操作符右侧指定的位数将操作符左边的操作数向左移动,在低位补0。
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量

6.右移位(shr >>)

按照操作符右侧指定的位数将操作符左边的操作数向右移动,符号为正,在高位插入0;为负,高位插入1。
和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

7.无符号右移(>>>)

>>>与>>唯一的不同是它无论原来的最左边是什么数，统统都用0填充。

源码、反码、补码

原码

将最高位作为符号位（以0代表正，1代表负）,其余各位代表数值本身的绝对值(以二进制表示), 这个时候有一个问题：表示0的时候正0和负0表示并不一 样，所以在计算机中没有采用原码的表示形式。 (负数的源码是正数源码最高位变为1)

反码

一个数如果为正，则它的反码与原码相同；一个数如果为负，则符号位为1，其余各位是对原码取反。问题和上面一样的。所以，计算机中也没有采用反码来表示数 字。

补码

一个数如果为正，则它的原码、反码、补码相同；一个数如果为负，则符号位为1，其余各位是
对原码取反,然后再加1。也就是通过将与其对应的正数的二进制代 码取反(即将1变成0，将0变成1),然后
对其结果加1。例如，-42就是通过将42的二进制代码的各个位取反，即对00101010 取反得到11010101,
然后再加1，得到11010110 ，即-42 。要对一个负数解码，首先对其所有的位取反，然后加1。
例如-42，或11010110 取反后为00101001 ，或41，然后加1，这样就得到了42。

一些简单的例子

功能	示例	位运算
去掉最后一位	(101101->10110)	x shr 1
在最后加一个0	(101101->1011010)	x shl 1
在最后加一个1	(101101->1011011)	x shl 1+1
把最后一位变成1	(101100->101101)	x or 1
把最后一位变成0	(101101->101100)	x or 1-1
最后一位取反	(101101->101100)	x xor 1
把右数第k位变成1	(101001->101101,k=3)	x or (1 shl (k-1))
把右数第k位变成0	(101101->101001,k=3)	x and not (1 shl (k-1))
右数第k位取反	(101001->101101,k=3)	x xor (1 shl (k-1))
取末三位	(1101101->101)	x and 7
取末k位	(1101101->1101,k=5)	x and 15
取右数第k位	(1101101->1,k=4)	x shr (k-1) and 1
把末k位变成1	(101001->101111,k=4)	x or (1 shl k-1)
末k位取反	(101001->100110,k=4)	x xor (1 shl k-1)
把右边连续的1变成0	(100101111->100100000)	x and (x+1)
把右起第一个0变成1	(100101111->100111111)	x or (x+1)
把右边连续的0变成1	(11011000->11011111)	x or (x-1)
取右边连续的1	(100101111->1111)	(x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一个1的左边	(100101000->1000)	x and not (x xor (x-1))（或 x and (-x)）

计算机进制

(1) 2进制

2进制的基本数字是0、1,逢2进位
1 = 1*2^0
10 = 1*2^1
100 = 1*2^2
1000 = 1*2^3 
10000 = 1*2^4

转化为10进制:
	(1111)2 = (15)10
	(1111)2 = 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0  = 15

转化为16进制:
	把2进制的每4位数转化为10进制组合起来
	(11010110)2 = (D6)16

(2) 10进制

0~9,逢十进位
10000 = 1*10^4
1000 = 1*10^3
100 = 1*10^2
10 = 1*10^1
1 = 1*10^0

转化为2进制:
	不断除2，保留余数，商为0不在除，余数倒序排列
	(13)10 = (1101)2
	
转化为16进制:
	不断的除以16，保留余数，商为0时不在除16，余数倒序排列
	(138)10 = (8A)16

(3) 16进制

基本数字, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F(15)
在Java代码中用0X做前缀
0X1000 = 1*16^3
0X100 = 1*16^2
0X10 = 1*16^1
0X1 = 1*16^0

转化为10进制:
	(5E)16 = (94)10
	5*16^1+ 14*16^0 = 94

转化为2进制:
	一位数代表2进制中4位数,转化为2进制
	(41)16 = (01000001)2