Frequency offset estimation

基于时间域的频率偏移估计方法

原创已于 2025-05-29 17:15:04 修改 · 429 阅读

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于 2025-04-10 17:28:06 首次发布

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在无噪声的情况下，接收端得到的序列是一个2N点的复数序列，其形式为：

$r_n = \frac{1}{N} \sum_{k=-K}^{K} X_k H_k e^{j2\pi (k+\epsilon)n/N}, \quad n = 0, 1, \ldots, 2N-1$

第一个N点序列的离散傅里叶变换（DFT）的第 k 个元素为：

$R_1[k] = \sum_{n=0}^{N-1} r_n e^{-j2\pi nk/N}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, N-1$

第二个N点序列的离散傅里叶变换（DFT）的第 k 个元素为：

$R_2[k] = \sum_{n=0}^{N-1} r_{n+N} e^{-j2\pi nk/N}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, N-1$

第二个DFT序列元素与第一个DFT序列元素之间的关系为：

$R_2[k] = R_1[k] e^{j2\pi \epsilon}$

基于时间域的频率偏移（CFO）估计方法，适用于包含重复模式的信号。

输入信号 $x$ 是一个复数矩阵，包含 $N_s$ 个时间域样本和 $N_r$ 个接收天线。信号中包含一个重复模式，周期为 $D$ 。为了估计频率偏移，至少需要两个完整的周期。

步骤如下：
1. **输入信号分割**：
- 输入信号 $x$ 被分割为两个部分：
- $\ x_1$ ：前 $D$ 个样本( $R_1[k]$ )。
- $x_2$ ：后 $D$ 个样本( $R_2[k]$ )。

2. **复共轭内积**：
- 对每个接收天线，计算 $\ x_1$ 和 $x_2$ 的复共轭内积：
$\text{res}(n) = x_1(n)^* \cdot x_2(n)$
其中 $x_1(n)^*$ 是 $\ x_1$ 的复共轭， $x_2(n)$ 是 $x_2$ 的原始信号。

3. **频率偏移计算**：
- 将所有接收天线的结果相加，取幅角（angle）并归一化：
$\text{foffset} = \frac{\text{angle}\left(\sum_{n=1}^{N_r} \text{res}(n)\right)}{2\pi}$
- 这个幅角对应于两个信号片段之间的相位差，而相位差与频率偏移成正比。

数学公式推导:
假设输入信号 x(t)包含一个重复模式，频偏为 $\epsilon$ ，周期为D。

将信号分成两个片段 $\ x_1$ 和 $x_2$ ，它们的相位差为：
$\Delta \phi = 2\pi \epsilon$

通过计算复共轭内积：
$\text{res} = \sum_{n=1}^D x_1(n) \cdot x_2^*(n)$

展开 $\ x_1$ 和 $x_2$ 的表达式：

$\text{res} = \sum_{n=1}^D \left | x_1(n) \right |^2 e^{-j2\pi \epsilon}$

最终，频率偏移的估计公式为：
$f = \frac{\text{angle}(\text{res})}{2\pi D} *f_s/N$

reference code:

% At least two repetitions of the pattern are required for estimation
[numSamples,numRxAnts] = size(x);
% CFO estimate with multiple receive antennas
% Van Zelst and Schenk, Implementation of a MIMO OFDM-Based
% Wireless LAN System, IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, VOL.
% 52, NO. 2, FEBRUARY 2004
unused = mod(numSamples,D); % Unused samples at the end
cx = x(1:end-(D+unused),:);
sx = x(D+1:(end-unused),:);

% Calculate for each receive antenna
res = complex(zeros(numRxAnts,1));
for n = 1:numRxAnts
    res(n) = cx(:,n)'*sx(:,n);
end
foffset = angle(sum(res))/(2*pi);

end