Leetcode 322. 零钱兑换【动态规划&贪心算法+回溯】

问题描述

给定不同面额的硬币 $coins$ 和一个总金额 $amount$。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最小的硬币个数、如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 $-1$。
输入：$coins=[1,2,5],amount=11$
输出： $3$
解释：$11=5+5+1$
每种硬币的数量是无限的

解题报告

动态规划

$dp[i]$ 表示组合成面额为 $i$ 的硬币需要的硬币个数，则：

$$dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin[j]]+1)j取值[0,1,\cdots ,n]$$

贪心+回溯

这种实现方式源自题解区：lkaruga。
贪心思想：
为了使得总硬币数目最少，优先使用大面值的硬币，所以对 $coins$ 进行逆序排序；
回溯思想：
如果首先将大面值的硬币使用了，则可能无法凑出目标值，所以需要进行回溯，依次减少大面值的硬币数量

注意：最先找到不一定是最优解，所以其他情况我们也需要考虑。考虑其他情况时，合理使用剪枝，可以减少时间消耗。
【Update 2023/07/21】理解最先找到的不一定是最优解：如coins = {17, 7, 1}，amount为23，如果首先选了17 则剩下只能选择6个1，结果为{17, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，共7个硬币，如果首先选择了7，则为{7, 7, 7, 1, 1}，共5个硬币，很明显如果求出一个解就退出，则会错失最优解。

实现代码

动态规划实现

int coinChange(vector<int>&coins,int amount){
        vector<int>dp(amount+1,amount+1);
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=amount;i++){
            for(int j=0;j<coins.size();j++){
                if(i>=coins[j]){
                    dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);
                }
            }
        }
        return (dp[amount]==amount+1)?-1:dp[amount];
    }
};

贪心+回溯实现

class Solution{
    public:
        int coinChange(vector<int>&coins,int amount){
            sort(coins.begin(), coins.end(),greater<int>());
            int ans=INT_MAX;
            dfs(coins, amount, 0, 0, ans);
            return ans==INT_MAX?-1:ans;
        }
        void dfs(vector<int>&coins,int amount, int i, int count,int& ans){
            if(amount==0){
                ans=min(ans, count);
                return;
            }
            if(i==coins.size()) return;
            for(int k=amount/coins[i];k>=0&&k+count<ans;k--){
                dfs(coins, amount-k*coins[i], i+1, count+k,ans);
            }
        }
};

参考资料

[1] Leetcode 322. 零钱兑换
[2] 题解区：lkaruga