Counting Bits Bit位计数

给定一个非负整数 num。 对于范围 0 ≤ i ≤ num 中的每个数字 i ，计算其二进制数中的1的数目并将它们作为数组返回。

示例：
比如给定 num = 5 ，应该返回 [0,1,1,2,1,2].

进阶：

• 给出时间复杂度为O(n * sizeof(integer)) 的解答非常容易。 但是你可以在线性时间O(n)内用一次遍历做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？ 在c ++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如c++里的 __builtin_popcount）来执行此操作。

致谢：
特别感谢 @syedee 添加此问题及所有测试用例。

思路：这道题如果按照传统的思路来，比较好想，时间复杂度是O(n*sizeof(integer))，并且也不是题目推崇的算法，那么只能通过找规律来做，规律如下：对于大于0的i而言，如果i是奇数，那么的个数一定是i/2的二进制位向左移一位然后个位填充1，所以对于i是奇数的情况，它的二进制的个数是i/2奇数个数+1。同理，如果i是偶数，那么二进制展开后的个位一定是0，所以对于i是偶数的情况，它的二进制的个数是i/2的偶数的个数。我们维护一个一维数组dp，递推公式如下：

dp[i]=0            if i==0
     =dp[i/2]      if i是偶数
     =dp[i/2]+1    if i是奇数

参考代码：

    vector<int> countBits(int num) {
	vector<int> res;
	if (num == 0) {
		res.push_back(0);
		return res;
	}
	int *dp = new int[num + 1];
	dp[0] = 0;
        res.push_back(0);
	for (int i = 1; i <= num; i++) {
		if (i & 1) {
			dp[i] = dp[i / 2] + 1;
		}
		else {
			dp[i] = dp[i / 2];
		}
		res.push_back(dp[i]);
	}
	delete[] dp;
	return res;        
    }