堆中的路径（浙大PTA数据结构与算法题目集-编程题7-5）

Hitoli_2814

已于 2024-09-06 20:15:13 修改

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文章标签：算法

于 2024-06-01 21:11:19 首次发布

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· 题目内容

题目描述：

将一系列给定数字插入一个初始为空的最小堆 h。随后对任意给定的下标 i，打印从第 i 个结点到根结点的路径。

输入格式

每组测试第 1 行包含 2 个正整数 n 和 m (≤103)，分别是插入元素的个数、以及需要打印的路径条数。下一行给出区间 [−104,104] 内的 n 个要被插入一个初始为空的小顶堆的整数。最后一行给出 m 个下标。

输出格式

对输入中给出的每个下标 i，在一行中输出从第 i 个结点到根结点的路径上的数据。数字间以 1 个空格分隔，行末不得有多余空格。

输入样例

5 3
46 23 26 24 10
5 4 3

输出样例:

24 23 10
46 23 10
26 10

· 堆

堆在物理上是一个一维数组，实际在逻辑上是一棵按层序存储的完全二叉树。这棵完全二叉树具有这样的性质：某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值

以大根堆为例，对于所有分支节点（除叶子结点以外的结点）T[i]，满足：根结点≥左孩子结点且根结点≥右孩子结点。

完全二叉树的一些性质

对于一棵按层序、以顺序表存储的结点总数为n的完全二叉树，其结点有这样几个性质：

第i个结点的左右孩子分别为2i，2i+1，父节点为 $\lfloor \frac{i}{2} \rfloor$ （如果有的话）
$[1, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor]$ 为分支节点，其他为叶子结点。
除根结点外，完全二叉树的任一结点要么有右兄弟，要么是最后一个结点。

所以对于大根堆的第i个结点，总有T[i]≥T[2i]且T[i]≥T[2i+1]（小根堆条件改为≤即可）

· 算法实现

建堆

首先把所有数据都存到一个顺序表中，自底向上地依次检查所有分支节点是否满足堆的要求。若不满足堆的要求，调整该节点与左右孩子中较大者互换。调整后，可能导致子树不满足堆的要求，需要继续向下调整。（建堆的代码需要理解，每一步都很巧妙）

typedef int* Heap;
typedef int HeapNode;
/* 建堆 */
// 注：这里为了下标和位序统一，h[0]不用来存储堆的元素，
// 注2：根据题目要求应使用插入法建堆
/*插入法建堆*/
Heap buildHeap_Insert(int sz) {
    Heap res = malloc(sizeof(HeapNode) * sz+1);
    for(int i=1;i<=sz;i++) {
        // 读取并插入一个元素
        int e;
        scanf("%d",&e);
        res[i] = e;
        // 将新插入后的堆调整为小根堆
        int k=i;
        // 不断与父节点比较，若小于父节点，上浮
        while(k>1 && res[k] < res[k / 2]) {
            int tmp = res[k];
            res[k] = res[k / 2];
            res[k / 2] = tmp;
            k/=2;
        }// while
    }// for

    return res;
}

int main() {
    int HeapSize,pathNum;
    scanf("%d %d",&HeapSize,&pathNum);
    if(HeapSize==0) return 0;
    Heap h = buildHeap_Insert(HeapSize);
    while(pathNum--) {
        HeapNode n;
        scanf("%d",&n);
        while(n) {
            if(n==1) printf("%d",h[n]);
            else printf("%d ",h[n]);
            n/=2;
        }
        if(pathNum!=0) putchar('\n');
    }

}